Équation biharmonique

fonction f qui est solution de l'équation Δ²f=0

En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction φ s'écrit :

est l'opérateur nabla et Δ l'opérateur laplacien. L'opérateur Δ2 est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien.

Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit :

Dans un espace euclidien de dimension n, la relation suivante est toujours vérifiée :

avec r la distance euclidienne :

.

ce qui, pour n = 3, est solution de l'équation biharmonique.

Une fonction qui est solution de l'équation biharmonique est appelée fonction biharmonique. Toute fonction harmonique est biharmonique — la réciproque n'est pas vraie.

L'opérateur biharmonique en coordonnées polaires s'écrit :

La solution peut alors s'obtenir par séparation des variables ; c'est la solution de Michell (en).

Pour certaines simulations numériques, on pourra utiliser la version discrète du bilaplacien.

Références

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Voir aussi

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Liens internes

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Liens externes

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Bibliographie

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