Équation biharmonique

Cet article est une ébauche concernant l’analyse.

En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction $φ$ s'écrit :

\nabla^{4} φ = Δ^{2} φ = 0

où $\nabla$ est l'opérateur nabla et $Δ$ l'opérateur laplacien. L'opérateur $Δ 2$ est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien.

Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit :

\frac{\partial^{4} φ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} φ}{\partial y^{4}} + \frac{\partial^{4} φ}{\partial z^{4}} + 2 \frac{\partial^{4} φ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + 2 \frac{\partial^{4} φ}{\partial y^{2} \partial z^{2}} + 2 \frac{\partial^{4} φ}{\partial x^{2} \partial z^{2}} = 0.

Dans un espace euclidien de dimension $n$ , la relation suivante est toujours vérifiée :

\nabla^{4} (\frac{1}{r}) = \frac{3 (15 - 8 n + n^{2})}{r^{5}}

avec $r$ la distance euclidienne :

r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}

.

ce qui, pour $n = 3$ , est solution de l'équation biharmonique.

Une fonction qui est solution de l'équation biharmonique est appelée fonction biharmonique. Toute fonction harmonique est biharmonique — la réciproque n'est pas vraie.

L'opérateur biharmonique en coordonnées polaires s'écrit :

Δ^{2} φ = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial}{\partial r} (\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial φ}{\partial r}))) + \frac{2}{r^{2}} \frac{\partial^{4} φ}{\partial r^{2} \partial θ^{2}} + \frac{1}{r^{4}} \frac{\partial^{4} φ}{\partial θ^{4}} - \frac{2}{r^{3}} \frac{\partial^{3} φ}{\partial θ^{2} \partial r} + \frac{4}{r^{4}} \frac{\partial^{2} φ}{\partial θ^{2}} = 0.

La solution peut alors s'obtenir par séparation des variables ; c'est la solution de Michell (en).

Pour certaines simulations numériques, on pourra utiliser la version discrète du bilaplacien. $Δ^{2} u = u_{i + 2, j} + u_{i - 2, j} + u_{i, j + 2} + u_{i, j - 2} + 2 (u_{i + 1, j + 1} + u_{i + 1, j - 1} + u_{i - 1, j + 1} + u_{i - 1, j - 1}) - 8 (u_{i + 1, j} + u_{i - 1, j} + u_{i, j + 1} + u_{i, j - 1}) + 20 u_{i, j}$

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Biharmonic equation » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Biharmonic equation », sur MathWorld

Bibliographie

Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. (ISBN 1-58488-347-2).
S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. (ISBN 0-8247-0466-5).
J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987. (ISBN 0-486-65407-9).

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