En mécanique des fluides l'équation de Helmholtz est l'équation de transport de la vorticité (ou tourbillon) pour l'écoulement d'un fluide incompressible barotrope. Elle a été établie par Hermann von Helmholtz en 1858[1].
Cette équation est utilisée pour l'étude des mécanismes de turbulence et, dans le cas non visqueux, pour l'étude de l'atmosphère.
Équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible
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Les équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible s'écrivent
- Équation d'incompressibilité
- Équation de bilan de la quantité de mouvement
où ρ est la masse volumique supposée variable, p la pression, V la vitesse et ν la viscosité cinématique du fluide. g est une force extérieure.
Équation de Helmholtz
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L'équation de quantité de mouvement ci-dessus peut s'écrire[2]
On a introduit dans cette équation la vorticité
en prenant le rotationnel de cette nouvelle équation il vient (on suppose g irrotationnel)
Le second terme se développe de la façon suivante
Finalement l'équation de conservation de la vorticité s'écrit
où Π est le vecteur barocline
Ce terme est nul pour un fluide barotrope. On obtient alors l'équation de Helmholtz