Équation de Liouville – Bratu – Gelfand

En analyse, l'équation de Liouville – Bratu – Gelfand est une équation de Poisson non linéaire dont le nom vient de celui des mathématiciens Joseph Liouville, Gheorghe Bratu et Israel Gelfand. Cette équation s'écrit :

$\nabla ^{2}\psi +\lambda e^{\psi }=0$

L'équation apparaît dans la théorie de Frank-Kamenetskii en combustion, en astrophysique avec l'équation de Emden-Chandrasekhar. Elle décrit également la charge d'espace autour d'un fil incandescent ou les nébuleuses planétaires.

La solution de Liouville

En deux dimensions et en coordonnées cartésiennes $(x,y)$ Joseph Liouville a proposé en 1853 la solution suivante :

$\lambda e^{\psi }(u^{2}+v^{2}+1)^{2}=2\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right]$

où $f(z)=u+iv$ est une fonction analytique arbitraire avec $z=x+iy$.

En 1915, G. W. Walker a trouvé une solution en supposant une forme pour $f(z)$. Si on définit la quantité $r$ par $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, alors la solution de Walker est :

$8e^{-\psi }=\lambda \left[\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}\right]^{2}$

où $a$ est un rayon fini. Cette solution décroît à l'infini pour tout $n$ mais devient infinie à l'origine pour $n<1$. Elle est finie à l'origine pour $n=1$ et s'annule pour $n>1$. Walker a également proposé deux autres solutions dans son article de 1915.

Formes à symétrie radiale

Si le système à étudier est à symétrie radiale, alors l'équation en dimension $n$ devient :

$\psi ''+{\frac {n-1}{r}}\psi '+\lambda e^{\psi }=0$

où $r$ est la distance par rapport à l'origine. Avec les conditions aux limites $\psi '(0)=0$ et pour $\lambda \geq 0$ une solution réelle n'existe que pour $\lambda \in [0,\lambda _{c}]$, où $\lambda _{c}$ est le paramètre critique appelé paramètre de Frank-Kamenetskii. Le paramètre critique est $\lambda _{c}=0,8785$ pour $n=1$, $\lambda _{c}=2$ pour $n=2$ et $\lambda _{c}=3.32$ pour $n=3$. Pour $n=1$ ou $2$ deux solutions existent et pour $3\leq n\leq 9$ il existe une infinité de solutions oscillant autour du point $\lambda =2(n-2)$. Pour $n\geq 10$ la solution est unique et le paramètre critique est donné par $\lambda _{c}=2(n-2)$. La multiplicité de solutions pour $n=3$ a été découverte par Israel Gelfand en 1963 et plus tard généralisée pour tout $n$ par Daniel D. Joseph et Thomas S. Lundgren en 1973.

• La solution pour $n=1$ qui est valide dans la plage $\lambda \in [0,0.8785]$ est donnée par :

$\psi =-2\ln \left[e^{-\psi _{m}/2}\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}r\right)\right]$

où $\psi _{m}=\psi (0)$ est lié à $\lambda$ par :

$e^{\psi _{m}/2}=\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}\right)$

• La solution pour $n=2$ qui est valide dans la plage $\lambda \in [0,2]$ est donné par

$\psi =\ln \left[{\frac {64e^{\psi _{m}}}{(\lambda e^{\psi _{m}}r^{2}+8)^{2}}}\right]$

où $\psi _{m}=\psi (0)$ est lié à $\lambda$ par :

$(\lambda e^{\psi _{m}}+8)^{2}-64e^{\psi _{m}}=0$

• Il n'existe pas de solution analytique pour $n=3$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville–Bratu–Gelfand equation » (voir la liste des auteurs).