Équations d'Einstein-Infeld-Hoffmann

Dans le cadre du problème à $N$ corps en relativité générale, les équations d'Einstein-Infeld-Hoffmann (EIH) sont les équations différentielles^[1] du mouvement décrivant, à l'approximation post-newtonienne^[2] d'ordre 1, la dynamique^[1] d'un système à $N$ corps^[2]^,^[3] de masses ponctuelles dans le vide^[2].

Elles généralisent le principe fondamental de la dynamique newtonienne^[4].

Les équations s'expriment d'ordinaire dans le référentiel barycentrique^[3] et en coordonnées harmoniques^[3]. Elles s'écrivent alors^[5] :

\begin{matrix} {\vec{a}}_{A} = & - \sum_{B \neq A} \frac{G M_{B}}{r_{A B}^{2}} {\vec{n}}_{A B} \\ + \frac{1}{c^{2}} {- \sum_{B \neq A} \frac{G M_{B}}{r_{A B}^{2}} [v_{A}^{2} - 4 ({\vec{v}}_{A} \cdot {\vec{v}}_{B}) + 2 v_{B}^{2} - \frac{3}{2} {({\vec{n}}_{A B} \cdot {\vec{v}}_{B})}^{2} - \frac{5 G M_{A}}{r_{A B}} - \frac{4 G M_{B}}{r_{A B}}] {\vec{n}}_{A B} \\ + \sum_{B \neq A} \frac{G M_{B}}{r_{A B}} [{\vec{n}}_{A B} \cdot (4 {\vec{v}}_{A} - 3 {\vec{v}}_{B})] ({\vec{v}}_{A} - {\vec{v}}_{B}) \\ + \sum_{B \neq A} \sum_{C \neq A, B} \frac{G^{2} M_{B} M_{C}}{r_{A B}^{2}} [\frac{4}{r_{A C}} + \frac{1}{r_{B C}} - \frac{r_{A B}}{2 r_{B C}^{2}} ({\vec{n}}_{A B} \cdot {\vec{n}}_{B C})] {\vec{n}}_{A B} \\ - \frac{7}{2} \sum_{B \neq A} \sum_{C \neq A, B} \frac{G^{2} M_{B} M_{C}}{r_{A B} r_{B C}^{2}} {\vec{n}}_{B C}} + O (c^{- 4}) \end{matrix}

,

où :

$c$ est la vitesse de la lumière dans le vide,
$G$ est la constante gravitationnelle.

Histoire

Les équations ont d'abord été formulées en 1917 par Hendrik Lorentz et Johannes Droste, qui ont publié leurs résultats en néerlandais dans une communication à l'Académie néerlandaise^[6]^,^[7]^,^[8]. Leur papier reste inaperçu par les quelques chercheurs alors impliqués dans le développement précoce de la relativité générale^[6]. Les équations ont été obtenues, à peu près au même moment, par Willem de Sitter, qui a fait usage de la métrique post-newtonienne précédemment dérivée par Droste, et postulé que les corps devraient se déplacer sur les géodésiques de la métrique externe^[6]. Mais, en raison d'une erreur de calcul, les équations de de Sitter différaient des équations post-newtoniennes correctes par un seul terme, et elles conduisent à la prédiction erronée que la barycentre du système devrait subir une accélération séculaire^[6]. L'erreur a été découverte et corrigée en 1938 par Arthur Eddington et Clark^[6]^,^[9]. La même année, une nouvelle dérivation des équations du mouvement a été produite par Albert Einstein, Leopold Infeld et Banesh Hoffmann^[6]^,^[10]. Malgré l'antériorité du travail de Lorentz et Droste, qui n'a finalement été mis en lumière que grâce à sa traduction en anglais publiée en 1937, les équations sont connues comme les équations de mouvement d'Einstein-Infeld-Hoffmann^[6].

Notes et références

1 2 Borzì 2020, p. 178.
1 2 3 Will 2018, p. 233.
1 2 3 Tremaine 2023, p. 573.
↑ Carmeli 2001, p. 277.
↑ Poisson et Will 2014, p. 441-442.
1 2 3 4 5 6 7 Poisson et Will 2014, p. 442.
↑ Lorentz et Droste 1917a.
↑ Lorentz et Droste 1917b.
↑ Eddington et Clark 1938.
↑ Einstein, Infeld et Hoffmann 1938.

Voir aussi

Bibliographie

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

[Eddington et Clark 1938] (en) Arthur Stanley Eddington et G. L. Clark, « The problem of n bodies in general relativity theory », Proceedings of the Royal Society A, vol. 166, n^o 927,‎ 16 juin 1938, p. 465-475 (DOI 10.1098/rspa.1938.0104, résumé, lire en ligne [PDF]).
[Einstein, Infeld et Hoffmann 1938] (en) Albert Einstein, Leopold Infeld et Banesh Hoffmann, « The gravitational equations and the problem of motion », Annals of Mathematics, 2^e série, vol. 39, n^o 1,‎ janvier 1938, p. 65-100 (DOI 10.2307/1968714, JSTOR 1968714, Bibcode 1938AnMat..39...65E).
[Lorentz et Droste 1917a] (nl) Hendrik Lorentz et Johannes Droste, « De beweging van een stelsel lichamen onder den invloed van hunne onderlinge aantrekking, behandeld volgens de theorie van Einstein. I », Verslagen der Afdeeling Natuurkunde van de Koninklijke Akademie van Wetenschappen, vol. 26,‎ 1917, p. 392-403 (lire en ligne [PDF]).
[Lorentz et Droste 1917b] (nl) Hendrik Lorentz et Johannes Droste, « De beweging van een stelsel lichamen onder den invloed van hunne onderlinge aantrekking, behandeld volgens de theorie van Einstein. II », Verslagen der Afdeeling Natuurkunde van de Koninklijke Akademie van Wetenschappen, vol. 26,‎ 1917, p. 649-660 (lire en ligne [PDF]).
[Borzì 2020] (en) Alfio Borzì, Modelling with ordinary differential equations : a comprehensive approach, Boca Raton et Abingdon, Chapman & Hall / CRC, coll. « Numerical analysis and scientific computing series », avril 2020 (réimpr. juin 2022), 1^re éd., XV-387 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-8153-9261-3 et 978-1-0323-3667-1, EAN 9780815392613, OCLC 1129743257, DOI 10.1201/9781351190398, lire en ligne).
[Carmeli 2001] (en) Moshe Carmeli, Classical fields : general relativity and gauge theory, Singapour, World Scientific, hors coll., novembre 2001, 1^re éd., XVII-650 p., 16,6 × 25,3 cm (ISBN 981-02-4787-7, EAN 9789810247874, OCLC 494582373, BNF 38857289, DOI 10.1142/4843, SUDOC 12361239X, présentation en ligne, lire en ligne).
[Poisson et Will 2014] (en) Eric Poisson et Clifford M. Will, Gravity : newtonian, post-newtonian, relativistic, Cambridge, CUP, hors coll., mai 2014, 1^re éd., XIV-780 p., 19,3 × 25,3 cm (ISBN 978-1-10-703286-6, EAN 9781107032866, OCLC 881740360, DOI 10.1017/CBO9781139507486, Bibcode 2014grav.book.....P, SUDOC 178990973, présentation en ligne, lire en ligne).
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[Will 2018] (en) Clifford M. Will, Theory and experiment in gravitational physics, Cambridge, CUP, hors coll., septembre 2018, 2^e éd. (1^re éd. 1993), XI-350 p., 19,2 × 25,3 cm (ISBN 978-1-107-11744-0, EAN 9781107117440, OCLC 1057520324, DOI 10.1017/9781316338612, SUDOC 230869696, présentation en ligne, lire en ligne).

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[Borzì2020178-1] 1 2 Borzì 2020, p. 178.

[Will2018233-2] 1 2 3 Will 2018, p. 233.

[Tremaine2023573-3] 1 2 3 Tremaine 2023, p. 573.

[Carmeli2001277-4] Carmeli 2001, p. 277.

[PoissonWill2014441-442-5] Poisson et Will 2014, p. 441-442.

[PoissonWill2014442-6] 1 2 3 4 5 6 7 Poisson et Will 2014, p. 442.

[1917aLorentz_et_Droste_1917a-7] Lorentz et Droste 1917a.

[1917bLorentz_et_Droste_1917b-8] Lorentz et Droste 1917b.

[EddingtonClark1938-9] Eddington et Clark 1938.

[EinsteinInfeldHoffmann1938-10] Einstein, Infeld et Hoffmann 1938.

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