En physique mathématique , le étoile-produit [ 1] est un opérateur mathématique sur une variété de Poisson pour déformer la multiplication de l'algèbre des fonctions lisses à valeurs complexes en une algèbre associative non commutative .
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L'opérateur est une quantification de déformation , une formalisation mathématique de la quantification issue de la physique .
Déformation formelle
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Soit
R
{\displaystyle R}
un anneau commutatif et
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
une algèbre sur un anneau . Soit
R
[
[
λ
]
]
{\displaystyle R[[\lambda ]]}
l'anneau des séries formelles et
A
[
[
λ
]
]
{\displaystyle {\mathcal {A}}[[\lambda ]]}
l'algèbre des séries formelles sur
R
[
[
λ
]
]
{\displaystyle R[[\lambda ]]}
avec les coefficients dans
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
.
La déformation formelle
⋆
{\displaystyle \star }
de l'opérateur de multiplication
⋅
{\displaystyle \cdot }
de l'algèbre
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
est une application
R
[
[
λ
]
]
{\displaystyle R[[\lambda ]]}
-bilinéaire [ 2]
⋆
:
A
[
[
λ
]
]
×
A
[
[
λ
]
]
→
A
[
[
λ
]
]
{\displaystyle \star :{\mathcal {A}}[[\lambda ]]\times {\mathcal {A}}[[\lambda ]]\to {\mathcal {A}}[[\lambda ]]}
tel que pour tout
u
,
v
∈
A
[
[
λ
]
]
{\displaystyle u,v\in {\mathcal {A}}[[\lambda ]]}
u
⋆
v
=
u
v
mod
λ
,
{\displaystyle u\star v=uv\quad \operatorname {mod} \lambda ,}
et
u
v
{\displaystyle uv}
est la multiplication des séries formelles :
u
v
:=
∑
n
=
0
∞
λ
n
∑
k
=
0
n
u
k
v
n
−
k
,
u
k
,
v
k
∈
A
{\displaystyle uv:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}\sum \limits _{k=0}^{n}u_{k}v_{n-k},\quad u_{k},v_{k}\in {\mathcal {A}}}
Soit
(
M
,
π
)
{\displaystyle (M,\pi )}
une variété de Poisson , où
π
{\displaystyle \pi }
est un tenseur de Poisson.
Le étoile-produit
⋆
{\displaystyle \star }
est une déformation formelle sur
C
∞
(
M
)
[
[
λ
]
]
{\displaystyle C^{\infty }(M)[[\lambda ]]}
, c'est-à-dire une multiplication
C
[
[
λ
]
]
{\displaystyle \mathbb {C} [[\lambda ]]}
-bilinéaire[ 3]
⋆
:
C
∞
(
M
)
[
[
λ
]
]
×
C
∞
(
M
)
[
[
λ
]
]
→
C
∞
(
M
)
[
[
λ
]
]
{\displaystyle \star :C^{\infty }(M)[[\lambda ]]\times C^{\infty }(M)[[\lambda ]]\to C^{\infty }(M)[[\lambda ]]}
de la forme
f
⋆
g
=
∑
r
=
0
∞
λ
r
C
r
(
f
,
g
)
{\displaystyle f\star g=\sum \limits _{r=0}^{\infty }\lambda ^{r}C_{r}(f,g)}
et
C
r
{\displaystyle C_{r}}
sont des applications
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
-bilinéaire
C
r
:
C
∞
(
M
)
×
C
∞
(
M
)
→
C
∞
(
M
)
{\displaystyle C_{r}:C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}
vérifiant les axiomes:
⋆
{\displaystyle \star }
est associative :
(
f
⋆
g
)
⋆
h
=
f
⋆
(
g
⋆
h
)
{\displaystyle (f\star g)\star h=f\star (g\star h)}
pour tout
f
,
g
,
h
∈
C
∞
(
M
)
{\displaystyle f,g,h\in C^{\infty }(M)}
.
C
0
(
f
,
g
)
=
f
g
{\displaystyle C_{0}(f,g)=fg}
.
C
1
(
f
,
g
)
−
C
1
(
g
,
f
)
=
i
{
f
,
g
}
{\displaystyle C_{1}(f,g)-C_{1}(g,f)=\mathrm {i} \{f,g\}\quad }
(où
{
,
}
{\displaystyle \{,\}}
est le crochet de Poisson ).
1
⋆
f
=
f
=
f
⋆
1
{\displaystyle 1\star f=f=f\star 1}
pour tout
f
∈
C
∞
(
M
)
{\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}
.
Si les
C
r
{\displaystyle C_{r}}
sont des opérateurs bidifférentiels ,
⋆
{\displaystyle \star }
est appelé un étoile-produit différentiel .
Si les
C
r
{\displaystyle C_{r}}
sont des opérateurs bidifférentiels d'ordre
r
{\displaystyle r}
est dans chaque argument,
⋆
{\displaystyle \star }
est appelé un étoile-produit naturel .
On appelle un
⋆
{\displaystyle \star }
du type Weyl , si
C
r
(
f
,
g
)
=
(
−
1
)
r
C
r
(
g
,
f
)
{\displaystyle C_{r}(f,g)=(-1)^{r}C_{r}(g,f)}
et
⋆
{\displaystyle \star }
est hermitien, c'est-à-dire
f
⋆
g
¯
=
f
¯
⋆
g
¯
{\displaystyle {\overline {f\star g}}={\bar {f}}\star {\bar {g}}}
(avec la convention
λ
¯
=
λ
{\displaystyle {\bar {\lambda }}=\lambda }
).
f
⋆
g
:=
f
(
q
,
p
)
exp
(
i
ℏ
2
(
∂
q
←
∂
p
→
−
∂
p
←
∂
q
→
)
)
g
(
q
,
p
)
{\displaystyle f\star g:=f(q,p)\exp \left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\left({\overset {\leftarrow }{\partial _{q}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{q}}}\right)\right)g(q,p)}
pour
f
,
g
∈
C
∞
(
R
2
n
)
{\displaystyle f,g\in C^{\infty }(\mathbb {R^{2n}} )}
est un étoile-produit sur
M
:=
R
2
n
{\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{2n}}
avec une forme symplectique canonique
π
:=
ω
{\displaystyle \pi :=\omega }
et la constante de Planck
λ
:=
ℏ
{\displaystyle \lambda :=\hbar }
.
Sur les variétés symplectiques
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De Wilde et Lecomte ont prouvé qu'un étoile-produit différentiel existe sur chaque variété symplectique[ 4] .
Sur les variétés de Poisson
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Maxime Kontsevitch a prouvé que toute variété de Poisson de dimension finie peut être quantifiée, ce qui implique l'existence de étoile-produit différentiels sur des variétés de Poisson arbitraires[ 5] .
↑ Joseph Oesterlé, « Quantification formelle des variétés de Poisson », Astérisque , vol. 252, no 843, 1998 , p. 211-229 (lire en ligne )
↑ (en) Chiara Esposito, Formality Theory , Springer Verlag, 2015 (ISBN 978-3-319-09289-8 )
↑ (de) Stefan Waldmann, Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung , Springer Verlag, 2001 (ISBN 978-3-540-72517-6 )
↑ (en) Marc de Wilde et Pierre B. A. Lecomte, « Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds », Letters in Mathematical Physics , vol. 7, no 6, 1er novembre 1983 (DOI 10.1007/BF00402248 )
↑ (en) Maxime Kontsevitch, « Deformation Quantization of Poisson Manifolds », Letters in Mathematical Physics , vol. 66, no 3, 1er décembre 2003 (DOI 10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf , arXiv q-alg/9709040v1 )