Évaluation p-adique
En théorie des nombres, la valuation p-adique ou l'ordre p-adique d'un entier n est l'exposant de la puissance la plus élevée du nombre premier p qui divise n . Il est noté . De manière équivalente, est l'exposant auquel apparaît dans la factorisation première de .
La valuation p-adique est une valuation donnant lieu à un analogue de la valeur absolue habituelle. Alors que l'extension des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue habituelle aboutit aux nombres réels , l'extension des nombres rationnels par rapport au -adique la valeur absolue donne les nombres p-adique [1].
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Définition et propriétés
modifierSoit p un nombre premier.
Entiers
modifierLa valorisation p-adique d'un entier est défini comme étant
désignant l'ensemble des nombres naturels et désignant la divisibilité de par [2].
Par exemple, prenons , qui à la valeur absolue est égale à, alors on a que , , et .
Parfois la notation est utilisé pour signifier [3].
Si est un entier positif, alors
car par définition : .
Nombres rationnels
modifierLa valuation p-adique peut être étendue aux nombres rationnels par l'application définit par[4],[5]
- .
Par exemple, et , car .
Quelques propriétés sont :
De plus, si , alors
p-adique valeur absolue
modifierLa valeur absolue p-adique (ou norme p-adique,[réf. nécessaire] bien que ce ne soit pas une norme comme dans l'analyse) sur est la fonction
Et .
Par exemple, et
La valeur absolue p-adique satisfait les propriétés suivantes :
Non-negativity | |
Définit positivement | |
Multiplicatif | |
Non Archimédien |
Comme c'est multiplicatif ( ) on a que les racines de l'unité et et donc on a aussi que La sous-additivité découle de l'inégalité du triangle non archimédien .
Le choix de la base p dans l'exponentiation n'affecte pas la plupart des propriétés, mais garde la formule du produit :
où le produit est pris en compte tous les nombres premiers p et la valeur absolue habituelle, notée . Cela découle simplement de la factorisation en nombre premier : chaque facteur s'annule avec son réciproque la valeur absolue p-adique, puis la valeur absolue archimédienne habituelle les annule toutes.
Un espace métrique peut être formé sur l'ensemble avec une métrique ( non archimédienne, invariante par translation )
L'extention a par rapport à cette métrique conduit à l'ensemble de nombres p-adiques.
Voir
modifier- nombre p -adique
- Valorisation (algèbre)
- Propriété archimédienne
- Multiplicité (mathématiques)
- Théorème d'Ostrowski
- La formule de Legendre
- Archimédien
- Distance Ultramétrique
- David S. Dummit et Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley, , 758–759 p. (ISBN 0-471-43334-9)
- K. Ireland et M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York, Springer-Verlag, , p. 3[ISBN souhaité]
- Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman et Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th, (ISBN 0-471-62546-9), p. 4
- avec une relation d'ordre usuelle
- A. Khrennikov et M. Nilsson, p-adic Deterministic and Random Dynamics, Kluwer Academic Publishers, , p. 9