∞-catégorie stable

En théorie des catégories, une branche des mathématiques, la notion d'∞-catégorie stable est une axiomatisation des propriétés essentielles de la catégorie des spectres (apparaissant en théorie de l'homotopie stable). Les ∞-catégories stables sont également les analogues en théorie des catégories supérieures des catégories abéliennes.

Définition formelle modifier

Une ∞-catégorie stable est une ∞-catégorie vérifiant les conditions suivantes^[1] :

(i) Elle admet un objet nul.
(ii) Chaque morphisme admet une fibre et une cofibre.
(iii) Un triangle est une suite-fibre si et seulement s'il s'agit d'une suite-cofibre.

Une ∞-catégorie stable admet toutes les limites et colimites finies^[2]. De plus, la catégorie homotopique d'une ∞-catégorie stable est triangulée^[3].

Exemples : l'∞-catégorie dérivée d'une catégorie abélienne et l'∞-catégorie des spectres Sp sont toutes deux stables.

Stabilisation modifier

Pour toute ∞-catégorie pointée C avec toutes les limites finies, il existe une ∞-catégorie stable Sp(C) munie d'un foncteur exact à gauche (i.e. préservant les limites finies) vers C, universelle avec propriété. Cette ∞-catégorie est donc unique (au sens de la théorie des ∞-catégories) et est appelée la stabilisation de C. Elle peut être décrite plus explicitement l'∞-catégorie des objets en spectres de C. En particulier, l'∞-catégorie des spectres Sp est la stabilisation de l'∞-catégorie ${\mathcal {S}}^{\mathrm {fin} }$ des types d'homotopie (ou ∞-groupoïdes) finis.

t-structures et groupes d'homotopie modifier

Par définition, la donnée d'une t-structure sur une ∞-catégorie stable est celle d'une t-structure sur sa catégorie homotopique. Une telle donnée permet de définir les groupes d'homotopie de tout objet.

De plus, si C est une ∞-catégorie stable munie d'une t-structure, chaque objet filtré $X(i),i\in \mathbb {Z}$ , de C induit une suite spectrale $E_{r}^{p,q}$ , qui, sous certaines conditions, converge vers $\pi _{p+q}\operatorname {colim} X(i).$ ^[4] Par la correspondance Dold-Kan, cela généralise la construction de la suite spectrale associée à un complexe de chaînes filtré de groupes abéliens.