48-graphe de Zamfirescu
Le 48-graphe de Zamfirescu est, en théorie des graphes, un graphe possédant 48 sommets et 76 arêtes. Il est hypohamiltonien, c'est-à-dire qu'il n'a pas de cycle hamiltonien mais que la suppression de n'importe lequel de ses sommets suffit à le rendre hamiltonien. Il est également planaire : il est possible de le représenter sur un plan sans qu'aucune arête n'en croise une autre.
| 48-Graphe de Zamfirescu | |
 Représentation du 48-graphe de Zamfirescu. | |
| Nombre de sommets | 48 |
|---|---|
| Nombre d'arêtes | 76 |
| Distribution des degrés | 3 (40 sommets) 4 (8 sommets) |
| Rayon | 6 |
| Diamètre | 7 |
| Maille | 4 |
| Automorphismes | 8 (D4) |
| Nombre chromatique | 3 |
| Indice chromatique | 4 |
| Propriétés | Hypohamiltonien Planaire |
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Histoire
modifierLes graphes hypohamiltoniens furent étudiés pour la première fois par Sousselier en 1963 dans Problèmes plaisants et délectables[1]. En 1967, Lindgren découvre une classe infinie de graphes hypohamiltoniens[2]. Il cite alors Gaudin, Herz et Rossi[3] puis Busacker et Saaty[4] en tant qu'autres précurseurs sur le sujet.
Dès le départ, le plus petit graphe hypohamiltonien est connu : le graphe de Petersen. Cependant la recherche du plus petit graphe hypohamiltonien planaire reste ouverte. La question de l'existence d'un tel graphe est introduite par Václav Chvátal en 1973[5]. La réponse est apportée en 1976 par Carsten Thomassen, qui exhibe un exemple à 105 sommets, le 105-graphe de Thomassen[6]. En 1979, Hatzel améliore ce résultat en introduisant un graphe hypohamiltonien planaire à 57 sommets : le graphe de Hatzel[7].
Ce graphe est battu en 2007 par le 48-graphe de Zamfirescu[8], dont les créateurs sont deux mathématiciens roumains : Carol Zamfirescu et Tudor Zamfirescu.. En 2009, le graphe de Zamfirescu est battu à son tour par le graphe de Wiener-Araya, qui devient avec ses 42 sommets le plus petit graphe hypohamiltonien planaire connu[9].
Propriétés
modifierPropriétés générales
modifierLe diamètre du 48-graphe de Zamfirescu, l'excentricité maximale de ses sommets, est 7, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
Coloration
modifierLe nombre chromatique du 48-graphe de Zamfirescu est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
L'indice chromatique du 48-graphe de Zamfirescu est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Propriétés algébriques
modifierLe groupe d'automorphismes du 48-graphe de Zamfirescu est un groupe d'ordre 8 isomorphe au groupe diédral D4, le groupe des isométries du plan conservant un carré. Ce groupe est constitué de 4 éléments correspondant aux rotations et de 4 autres correspondant aux réflexions.
Notes et références
modifier- R. Sousselier et C. Berge (dir.), « Problèmes plaisants et délectables : Problème no. 29: Le cercle des irascibles », Rev. Franç. Rech. Opérationnelle, vol. 7, , p. 405–406
- (en) W. F. Lindgren, « An infinite class of hypohamiltonian graphs », American Mathematical Monthly, vol. 74, , p. 1087–1089 (DOI 10.2307/2313617), lien Math Reviews
- T. Gaudin, P. Herz et Rossi, « Solution du problème No. 29 », Rev. Franç. Rech. Opérationnelle, vol. 8, , p. 214–218
- (en) R. G. Busacker et T. L. Saaty, Finite Graphs and Networks, McGraw-Hill,
- (en) V. Chvátal, « Flip-flops in hypo-Hamiltonian graphs », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 16, , p. 33–41 (MR 0371722)
- (en) C. Thomassen, « Planar and Infinite Hypohamiltonian and Hypotraceable Graphs », Discrete Math. 14 (1976), 377-389
- (de) H. Hatzel, « Ein planarer hypohamiltonscher Graph mit 57 Knoten », Math. Ann. 243 (1979), 213-216
- (en) C. T. Zamfirescu et T. I. Zamfirescu, « A Planar Hypohamiltonian Graph with 48 Vertices », Journal of Graph Theory 48 (2007), 338-342
- (en) G. Wiener et M. Araya, The Ultimate Question, 20 avril 2009, arXiv:0904.3012
Voir aussi
modifierArticles connexes
modifierLien externe
modifier(en) Eric W. Weisstein, « Zamfirescu Graphs », sur MathWorld
