Algèbre de Hecke d'un groupe fini
L'algèbre de Hecke d'un groupe fini est l'algèbre engendrée par les doubles classes HgH suivant un sous-groupe H d'un groupe fini G. C'est un cas particulier d'algèbre de Hecke d'un groupe localement compact.
Définition
modifierSoient F un corps de caractéristique nulle, G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Soit l'algèbre de groupe de G : c'est l'espace des fonctions de G dans F avec la multiplication donnée par convolution. On note l'espace des fonctions de dans F. Une fonction (à valeurs dans F) sur détermine et est déterminée par une fonction sur G qui est invariante sous l'action de H par multiplication à droite. Autrement dit, on a une identification naturelle :
De même, on a une identification
définie ainsi : on envoie une application G-linéaire f sur la valeur de f évaluée en la fonction caractéristique de H. Pour chaque double classe , soit sa fonction caractéristique. Alors, les forment une base de R.
Application en théorie des représentations
modifierL'algèbre de Hecke R de (G, H) est isomorphe à l'algèbre des endomorphismes de la représentation induite de la représentation triviale de H[1].
Articles connexes
modifierBibliographie
modifier- Claudio Procesi, Lie groups : An approach through invariants and representations, Springer, coll. « Universitext », , xxiv+604 (ISBN 9780387260402, DOI 10.1007/978-0-387-28929-8), p. 14-15
- Mark Reeder, Notes on representations of finite groups (notes de cours), Boston College, (lire en ligne), p. 24-25
- Reeder 2011, p. 24-25.