Algèbre de Lie Monstre

En mathématiques, l'algèbre de Lie Monstre est une algèbre de Kac-Moody généralisée (en) de dimension infinie sur laquelle agit le groupe Monstre, qui a été utilisée pour prouver les conjectures du « Monstrous moonshine ».

Structure

L'algèbre de Lie monstre est une algèbre de Lie graduée sur Z². La composante de degré (m, n) est de dimension c_mn si (m, n) ≠ (0, 0) et de dimension 2 si (m, n) = (0, 0), où les entiers c_n sont les coefficients de qⁿ du j-invariant, vu comme fonction modulaire elliptique

$j(q)-744={1 \over q}+196884q+21493760q^{2}+\cdots .$

La sous-algèbre de Cartan est le sous-espace de dimension 2 de degré (0, 0), de sorte que l’algèbre de Lie Monstre est de rang 2.

L'algèbre de Lie Monstre n'a qu'une seule racine réelle simple, donnée par le vecteur (1, −1) ; le groupe de Weyl est d'ordre 2, il agit par la volte (m, n) → (n, m). Les racines imaginaires simples sont les vecteurs (1, n) pour n entier naturel non nul, elles sont de multiplicité c_n.

La formule du dénominateur de l'algèbre de Lie Monstre est la formule du produit du j-invariant :

$j(p)-j(q)=\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}\right)\prod _{m,n=1}^{\infty }(1-p^{m}q^{n})^{c_{mn}}.$

La formule du dénominateur, parfois appelée « identité de produit infini de Koike-Norton-Zagier », a été découverte dans les années 1980. Plusieurs mathématiciens, dont Masao Koike, Simon P. Norton et Don Zagier, ont fait cette découverte de manière indépendante.

Construction

On dispose de deux façons de construire l'algèbre de Lie Monstre^{[réf. nécessaire]}. Comme il s'agit d'une algèbre de Kac-Moody généralisée dont les racines simples sont connues, elle peut être définie de façon explicite par générateurs et relations ; cependant, cette présentation ne permet pas de lire une action du groupe Monstre.

Elle peut également être construite à partir de l'algèbre vertex du Monstre en utilisant le théorème de Goddard-Thorn (en) en théorie des cordes. Cette construction est beaucoup plus difficile mais elle donne une action naturelle du groupe Monstre.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Monster Lie algebra » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Richard Borcherds, « Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster », Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 83, n^o 10,‎ 1986, p. 3068-71 (PMID 16593694, PMCID 323452, DOI 10.1073/pnas.83.10.3068 , Bibcode 1986PNAS...83.3068B)
• Igor Frenkel, James Lepowsky et Arne Meurman, Vertex operator algebras and the Monster, Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics » (n^o 134), 1988 (ISBN 0-12-267065-5, lire en ligne)
• Victor Kac, Vertex algebras for beginners, American Mathematical Society, coll. « University Lecture Series » (n^o 10), 1996 (ISBN 0-8218-0643-2) ; Victor Kac, deuxième édition revue et augmentée, 1998 (ISBN 0-8218-1396-X, lire en ligne)
  • (en) Victor Kac, « Corrections to the book "Vertex algebras for beginners", second edition, by Victor Kac », 1999.
• Roger W. Carter, Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 96), 2005 (ISBN 0-521-85138-6) (texte introductif contenant une brève présentation de l'algèbre de Borcherds dans le chapitre 21)

Articles connexes

• Groupe Monstre
• Monstrous moonshine
• Algèbre de Griess
• Algèbre vertex du Monstre