Algorithme de Clenshaw

En analyse numérique, l’algorithme de Clenshaw[1] est une méthode récursive permettant d'évaluer un polynôme comme combinaision linéaire des polynômes de Tchebychev. Elle peut se voir comme une généralisation de la méthode de Horner qui évalue une combinaison linéaire de monômes.

Cette méthode peut être étendue aux classes de fonctions définies par une relation de récurrence d'ordre 2[2].

Algorithme

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Soit une suite de fonctions vérifiant la relation de récurrence d'ordre 2

où les coefficients et sont connus. On remarquera que dans la plupart des cas, est indépendant de k, et est une constante ne dépendant ni de x ni de k.

L'objectif est donc de calculer la somme

À partir des coefficients , on calcule les valeurs par la formule de récurrence inverse :

La combinaision linéaire des vérifie :

Fox et Parker ont étudié le comportement et la stabilité de ce type d'algorithme[3].

La méthode de Horner vue comme celle de Clenshaw

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Un cas simple de l'algorithme apparait en considérant un polynôme de la forme

.

On obtient alors

et les coefficients deviennent alors et .

Ainsi, la formule de récurrence pour calculer la somme est

et ici, le résultat est

,

ce qui permet de retrouver le résultat de la méthode de Horner.

Cas particulier des séries de Tchebychev

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Soit une série de Tchebychev tronquée

Les coefficients de la relation de récurrence dans les polynômes de Tchebychev sont

avec les conditions initiales

La formule de récurrence devient alors

et la somme finale devient

Un moyen d'évaluer ce polynôme est de calculer la récurrence à un pas supplémentaire, en posant

(avec un coefficient a0 double) puis

Applications géodésiques

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L'algorithme de Clenshaw est beaucoup utilisé dans les applications géodésiques, où on parle plutôt de sommation de Clenshaw[4]. Une simple application est de sommer les séries trigonométriques pour calculer un arc de méridien. Ces sommes s'écrivent sous la forme

Mis à part le premier terme , le reste peut se voir comme une somme de la forme voulue. Le terme initial dans une telle somme disparait car .

En utilisant les relations de trigonométrie, on trouve la relation de récurrence nécessaire :

avec les coefficients correspondants

et l'évaluation de la série est donnée par

La dernière étape est simplifiée du fait que , ce qui donne  ; reste le terme traité séparément :

L'algorithme ne nécessite ainsi que le calcul de et .

Voir aussi

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Références

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  1. DOI 10.1090/S0025-5718-1955-0071856-0 Dans ce papier, on utilise la forme étendue des polynômes de Tchebychev de première espèce .
  2. (en) WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling et BP Flannery, Numerical Recipes : The Art of Scientific Computing, New York, Cambridge University Press, , 3e éd., 1235 p. (ISBN 978-0-521-88068-8, lire en ligne), chap. 5.4.2 (« Clenshaw's Recurrence Formula »)
  3. L. Fox et I. B. Parker, « Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis », Oxford mathematical handbooks, Oxford University Press,‎ (ISBN 0-19-859614-6)
  4. C. C. Tscherning et K. Poder, « Some Geodetic applications of Clenshaw Summation », Bolletino di Geodesia e Scienze Affini, vol. 41, no 4,‎ , p. 349–375 (lire en ligne)