Algèbre géométrique conforme

Cet article est une ébauche concernant l’algèbre et la géométrie.

L’algèbre géométrique conforme est un modèle mathématique de l'espace, établissant une correspondance injective^[1] entre l'espace euclidien de dimension $n$ et une algèbre géométrique de dimension $n + 2$ , telle que l'image de tout point est un vecteur nul et telle qu'il existe un vecteur nul avec lequel l'image de tout point donne un produit intérieur égal à un.

\begin{matrix} F (𝐱)^{2} = 0 \\ F (𝐱) \cdot \infty = 1 \\ \infty^{2} = 0 \end{matrix}

Définitions

Plan de Minkowski

L'algèbre géométrique conforme ajoute à l'espace euclidien deux dimensions dotées d'une métrique pseudo-euclidienne $(-, +)$ . Cet espace est appelé plan de Minkowski.

Deux vecteurs nuls de cet espace sont choisis. Ils sont notés $(o, \infty)$ et appelés respectivement origine et horizon. Ils sont choisis afin de satisfaire les relations suivantes^[2]:

\begin{matrix} o^{2} = \infty^{2} = 0 \\ o \cdot \infty = \infty \cdot o = 1 \end{matrix}

Il peut être montré que $(o, \infty)$ forment une base du plan de Minkowski. Cette base est appelée base nulle.

Le produit extérieur de l'horizon et de l'origine forme le pseudo-scalaire du plan de Minkowski. Il est noté avec un E majuscule.

\infty \land o = E

La convention $E = o \land \infty$ existe aussi mais ne sera pas utilisée dans cet article.

Découpage conforme

L'algèbre géométrique conforme découpe^[3] une algèbre géométrique de dimension vectorielle $n + 2$ en deux sous espaces : le plan de Minkowski et un espace de dimension $n$ visant à représenter un espace euclidien.

Il existe au moins deux méthodes de découpe.

Découpage additif

Le découpage additif utilise une somme directe:

ℝ^{n + 1, 1} = ℝ^{n} \oplus ℝ^{1, 1}

Un vecteur $x$ de $ℝ^{n + 1, 1}$ s'écrit donc:

x = F (𝐱) = 𝐱 + α o + β \infty

Les coefficients $α, β$ sont les coordonnées de $x$ dans le plan de Minkowski. Ils dépendent de $𝐱$ de manière que $F (𝐱)$ satisfasse les relations définissant le modèle conforme.

Découpage multiplicatif

Le découpage multiplicatif consiste en un produit direct:

𝒢_{n + 1, 1} = 𝒢_{n} \otimes 𝒢_{1, 1}

Ici $𝒢_{n}$ est en fait l'espace des trivecteurs ayant pour facteur commun le bivecteur E.

ρ 𝐱 = x \land E

Le facteur de linéarité $ρ$ est à déterminer en tenant compte des conditions du modèle conforme.

Propriétés

Plan de Minkowski

Carré du pseudo-scalaire

Le carré du pseudo-scalaire du plan de Minkowski est égal à un.

E^{2} = 1

Démonstration

$\begin{matrix} E^{2} = & (\infty \land o) (\infty \land o) \\ = & - (o \land \infty) (\infty \land o) \\ = & - (o \infty - o \cdot \infty) (\infty o - \infty \cdot o) \\ = & - (o \infty - 1) (\infty o - 1) \\ = & (1 - o \infty) (\infty o - 1) \\ = & \infty o - 1 - o \infty \infty o + o \infty \\ = & \infty o + o \infty - 1 \\ = & 2 \infty \cdot o - 1 \\ = & 2 - 1 \\ = & 1 \end{matrix}$

∎

Absorption par la base nulle

Dans le plan de Minkowski, la multiplication par E agit sur l'origine et l'horizon en changeant ou non leur signe selon le sens de la multiplication.

\begin{matrix} E \infty = - \infty E = \infty \\ o E = - E o = o \end{matrix}

Démonstration

$\begin{matrix} E \infty = & (\infty \land o) \infty \\ = & - (o \land \infty) \infty \\ = & - (o \infty - o \cdot \infty) \infty \\ = & (o \cdot \infty - o \infty) \infty \\ = & (1 - o \infty) \infty \\ = & \infty - o \infty^{2} \\ = & \infty \end{matrix}$

Les autres relations se démontrent de manière similaire.

Expression de F

Découpage additif

Avec le découpage additif, l'expression explicite de F s'écrit^[4]:

F (𝐱) = o + 𝐱 - \frac{1}{2} 𝐱^{2} \infty

Démonstration

Comme vu précédemment: $F (𝐱) = 𝐱 + α o + β \infty$

On cherche à déterminer $α$ et $β$ afin de satisfaire $F (𝐱)^{2} = 0$ et $F (𝐱) \cdot \infty = 1$ .

On a:

\begin{matrix} F (𝐱)^{2} = & (𝐱 + α o + β \infty) (𝐱 + α o + β \infty) \\ = & 𝐱^{2} + α β o \infty + α β \infty o \\ = & 𝐱^{2} + 2 α β o \cdot \infty \\ = & 𝐱^{2} + 2 α β \end{matrix}

Donc $F (𝐱)^{2} = 0$ implique $α β = - \frac{1}{2} 𝐱^{2}$

La condition $F (𝐱) \cdot \infty = 1$ implique quant à elle immédiatement $α = 1$

Donc $β = - \frac{1}{2} 𝐱^{2}$

∎

Découpage multiplicatif

Pour le découpage multiplicatif, F s'écrit:

F (𝐱) = (o + 𝐱 + \frac{1}{2} 𝐱^{2} \infty) E = o + 𝐱 E - \frac{1}{2} 𝐱^{2} \infty

Démonstration

On a tout d'abord:

F (𝐱) = x = x E^{2} = (x \land E + x \cdot E) E

D'où

x^{2} = x x^{†} = (x \land E + x \cdot E) E E (E \land x + x \cdot E) = - (x \land E + x \cdot E) (x \land E - x \cdot E) = (x \cdot E)^{2} - (x \land E)^{2}

Comme par ailleurs $x^{2} = 0$ , il vient:

(x \cdot E)^{2} = (x \land E)^{2} = 𝐱^{2}

Or

(x \cdot E)^{2} = (x \cdot (\infty \land o))^{2} = (x \cdot \infty o - \infty x \cdot o)^{2} = (o - \infty x \cdot o)^{2} = - x \cdot o (o \infty + \infty o) = - 2 x \cdot o

Donc

x \cdot o = - \frac{1}{2} 𝐱^{2}

Et donc

x \cdot E = o - \infty x \cdot o = o + \frac{1}{2} 𝐱^{2} \infty

ce qui donne

x E = x \land E + x \cdot E = 𝐱 + \frac{1}{2} 𝐱^{2} \infty + o

et enfin, en multipliant par E:

x = (𝐱 + \frac{1}{2} 𝐱^{2} \infty + o) E

Produit intérieur et norme euclidienne

Le carré de la distance euclidienne est l'opposé du double du produit intérieur.

‖ 𝐲 - 𝐱 ‖^{2} = - 2 F (𝐱) \cdot F (𝐲)

Démonstration

Pour le découpage additif:

\begin{matrix} 2 F (𝐱) \cdot F (𝐲) = & (o + 𝐱 - \frac{1}{2} 𝐱^{2} \infty) (o + 𝐲 - \frac{1}{2} 𝐲^{2} \infty) + (o + 𝐲 - \frac{1}{2} 𝐲^{2} \infty) (o + 𝐱 - \frac{1}{2} 𝐱^{2} \infty) \\ = & - \frac{1}{2} 𝐲^{2} - \frac{1}{2} 𝐱^{2} + 𝐱 𝐲 - \frac{1}{2} 𝐱^{2} - \frac{1}{2} 𝐲^{2} + 𝐲 𝐱 \\ = & - (𝐱^{2} - 𝐱 𝐲 - 𝐲 𝐱 + 𝐲^{2}) \\ = & - (𝐱 - 𝐲)^{2} \\ = & - ‖ 𝐱 - 𝐲 ‖^{2} \end{matrix}

Pour le découpage multiplicatif:

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Voir aussi

Liens externes

(en) Old Wine in New Bottles: A new algebraic framework for computational geometry[PDF], David Hestenes

Notes et références

↑ Il est choisi ici de stipuler le caractère injectif de la correspondance pour éviter d'inclure le cas trivial $F (𝐱) = o$ .
↑ Il existe plusieurs manières de définir l'origine et l'horizon, ainsi que différentes notations. Certains ouvrages utilisent notamment une convention différente pour la valeur du produit scalaire : $o \cdot \infty = - 1$ . Ces différentes conventions ne changent pas fondamentalement les propriétés algébriques de l'algèbre géométrique conforme, et peuvent être assimilées à des divergences dans le choix des unités.
↑ Ici le mot découpage et ses substantifs ont été choisis pour traduire le terme anglais split dans l'expression de Hestenes conformal split
↑ Certaines sources utilisent la formule $F (𝐱) = o + 𝐱 + \frac{1}{2} 𝐱^{2} \infty$ . La différence de signe semble être liée au choix différent pour le signe du produit scalaire entre l'origine et l'horizon.

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Portail de la géométrie

[1] Il est choisi ici de stipuler le caractère injectif de la correspondance pour éviter d'inclure le cas trivial $F (𝐱) = o$ .

[2] Il existe plusieurs manières de définir l'origine et l'horizon, ainsi que différentes notations. Certains ouvrages utilisent notamment une convention différente pour la valeur du produit scalaire : $o \cdot \infty = - 1$ . Ces différentes conventions ne changent pas fondamentalement les propriétés algébriques de l'algèbre géométrique conforme, et peuvent être assimilées à des divergences dans le choix des unités.

[3] Ici le mot découpage et ses substantifs ont été choisis pour traduire le terme anglais split dans l'expression de Hestenes conformal split

[4] Certaines sources utilisent la formule $F (𝐱) = o + 𝐱 + \frac{1}{2} 𝐱^{2} \infty$ . La différence de signe semble être liée au choix différent pour le signe du produit scalaire entre l'origine et l'horizon.

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