En mathématiques, un anneau de Novikov est un certain type d'anneau commutatif unitaire constitué de séries formelles. Il existe plusieurs notions reliées mais différentes d'anneau de Novikov. Sa première définition fut introduite par S. P. Novikov dans un article qui a initié la généralisation de la théorie de Morse utilisant une 1-forme différentielle fermée au lieu d'une fonction de Morse. Les définitions subséquentes furent introduites dans un contexte de cohomologie de Floer puis dans un contexte de cohomologie quantique.

Définition

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Voici la définition d'un anneau de Novikov[1] :

Soit un sous-groupe additif de . L'anneau de Novikov de est par définition l'anneau constitué des séries formelles : où :

  • est une suite en  ;
  • est une indéterminée ;
  • est une suite strictement décroissante en , i.e. telle que , qui vérifie .

La structure d'anneau (addition et produit) de est la même que celle de l'anneau des séries formelles .

De manière équivalente, l'anneau de Novikov peut être défini par :

On peut remarquer que :

  • L'anneau de Novikov est un sous-anneau de l'anneau  ;
  • L'anneau de Novikov est un anneau principal ;
  • Il existe d'autres définitions d'anneau de Novikov.

Voici une autre définition d'anneau de Novikov[2] : l'anneau de Novikov est : est une indéterminée.

Remarquons que la définition de est similaire à celle , pour , mais avec un nombre fini de termes en puissance négative au lieu d'un nombre fini de termes en puissance positive.

Nombres de Novikov et inégalités de Novikov

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En théorie de Morse, plus précisément en homologie de Morse, une fonction de Morse à valeurs réelles définie sur une variété différentielle compacte induit un complexe de chaîne librement engendré sur un anneau par les points critiques de et gradué par leur indice de Morse. Le rang de , i.e. le nombre de points critiques de d'indice de Morse , est nommé -ième nombre de Morse. Les nombres de Morse vérifient les inégalités de Morse :

est le -ième nombre de Betti de .

En analogie avec ceci, on peut définir les deux nombres de Novikov. À ces nombres seront associés les inégalités de Novikov.

Fixons un polyèdre connexe avec points de base . Fixons aussi une classe de cohomologie . Cette dernière peut être vue comme fonctionnelle linéaire : sur le premier groupe d'homologie .

En la composant avec l'homomorphisme d'Hurewicz , elle peut être vue comme homomorphisme de groupes .

Par la propriété universelle, cette application en retour donne un homomorphisme d'anneau et où , faisant de un -module. Puisque est un polyèdre connexe, ce dernier -module correspond à un système de coefficients locaux sur .

Le groupe d'homologie est un module finiment engendré sur , qui est, par le théorème des facteurs invariants, une somme directe de la partie libre et de la partie torsion. Le rang de la partie libre de est nommé le -ième nombre de Novikov Betti et est dénoté par . Le nombre de modules cycliques dans la partie torsion de est nommé -ième nombre de torsion de Novikov et est dénoté par . Les nombres et sont nommés nombres de Novikov.

Lorsque , est trivial. Dans ce cas, est le -ième nombre de Betti usuel de et est le nombre minimal de générateurs du sous-groupe de torsion de .

L'analogue des inégalités de Morse, nommées inégalités de Novikov, tiennent aussi pour les nombres de Novikov.

Fixons une 1-forme différentielle fermée sur une variété différentielle dont les zéros sont de type Morse.

Soit le nombre de zéros d'indice de Morse de .

Soit sa classe de cohomologie de de Rham.

Les inégalités de Novikov s'écrivent alors : .

Anneau de Novikov en cohomologie quantique

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Tel que mentionné plus haut, il existe d'autres notions d'anneaux de Novikov. En voici un exemple dans le contexte de la cohomologie quantique[3].

Soit une variété symplectique fermée (i.e. compacte et sans bord).

Posons le second groupe d'homologie de modulo sous-groupe de torsion.

Soit un anneau commutatif unitaire.

L'anneau de Novikov est par définition l'ensemble des séries formelles où :

  •  ;
  • est une variable formelle sujette à la condition  ;
  • pour tout , la cardinalité de l'ensemble est finie.

Notes et références

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  1. M. Farber, Topology of closed one-forms, .
  2. A. Ranicki, Circle valued Morse theory and Novikov homology, .
  3. M. Dusa et Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, (ISBN 0-8218-3485-1).

Voir aussi

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Bibliographie

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  • (en) Michael Farber, Topology of closed one-forms, vol. 108, Providence (R.I.), American Mathematical Society, coll. « Mathematical surveys and monographs », , 246 p. (ISBN 978-0-8218-3531-9, BNF 40026232, zbMATH 1052.58016). Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article
  • S. P. Novikov, Multi-valued functions and functionals: An analogue of Morse theory, Soviet Math - Doklady 24, , p. 222–226. Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article.
  • S. P. Novikov, The Hamiltonian formalism and a multi-valued analogue of Morse theory, Russian Mathematical Surveys 35:5, , p. 1–56. Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article.
  • Andrew Ranicki, Circle valued Morse theory and Novikov homology, . Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article.
  • Helmut Hofer & Dietmar Salamon, Floer homology and Novikov Ring, . Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article.

Liens externes

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