Annulateur (théorie des modules)

Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.

En théorie des anneaux, l'annulateur d'une partie S d'un module à gauche M sur un anneau A est l'ensemble :

Ann (S) = {α \in A ∣ \forall x \in S α x = 0}

^[1].

Ann(S) est un idéal à gauche de A.

Si S est un sous-module de M, Ann(S) est même un idéal bilatère.

En effet^[1], si

α \in Ann (S)

et

β \in A

, alors

(α β) S = α (β S) \subset α S = {0}

. Alternativement, on peut remarquer^[2] que Ann(S) n'est autre que le noyau du morphisme d'anneaux

A \to End (S)

qui définit la loi externe du module S.

Un élément $x$ de M est dit simple si $\forall α \in A α x = 0 \Rightarrow α = 0$ , autrement dit si $Ann({x}) = {0}$ .^{[réf. nécessaire]}

Notes et références

1 2 N. Bourbaki, Algèbre, chapitres 1 à 3 (lire en ligne), II.28.
↑ (en) Frank W. Anderson et Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer, coll. « GTM » (n^o 13), 1974 (lire en ligne), p. 35.