On définit l'opérateur de la fonction de Green, où est une quantité infinitésimale:
Les démonstrations de ces relations se retrouvent dans l'ouvrage Modern Quantum Mechanics de J. J. Sakurai (en)[2] ainsi que dans l'ouvrage Mécanique quantique II de Claude Cohen-Tannoudji[3].
L'équation de Lippmann-Schwinger :
où est solution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre. Nous prendrons la solution d'onde plane exprimée respectivement en fonction du momentum et du vecteur de propagation . Lorsqu'on exprime le tout dans la base de la position , on a :
Dans le cas d'un potentiel de diffusion V local, où :
Pour mieux interpréter les différents termes, on peut réécrire ainsi:
Où est appelé « l'amplitude de diffusion ». Le premier terme représente toujours l'onde incidente dans la direction alors que la forme du deuxième terme s'interprète comme une onde sphérique sortante dans le cas et entrante dans le cas . À ce point, toutefois, est exprimé en termes de , potentiellement inconnu. On cherche donc à ré-exprimer celle-ci en termes connus, tels que et V, et c'est là tout l'intérêt de l'approximation de Born.
On multiplie l'équation de Lippman-Schwinger par le potentiel diffuseur V :
On remplace celle-ci dans l'équation de Lippman-Schwinger, on réitère au besoin, approximant finalement à l'ordre désiré en V :
En remplaçant dans l'expression de , on a donc une décomposition de celui-ci :