Approximation par matrices non-négatives

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire et en analyse des données, la factorisation en matrices non-négatives et l'approximation par matrices non-négatives consistent à représenter ou approcher une matrice par un produit de matrices dont les éléments sont positifs ou nuls. Ces méthodes appartiennent à la famille plus générale des techniques de factorisation matricielle et d'approximation de rang faible. Elles sont adaptées pour l'analyse de données non-négatives que l'on cherche à interpréter comme une combinaison linéaire de multiples sources elles-mêmes non-négatives. Cette propriété est désirée dans de nombreuses applications afin de pouvoir donner une interprétation à la décomposition obtenue.

Ces méthodes ont été utilisées pour la première fois en chimie analytique et en télédétection dans les années 1960.

Elles ont depuis été utilisées pour de nombreuses applications dont les systèmes de recommandation, l'analyse de documents textuels, le traitement du signal, l'astronomie.

Principe

Soit $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$. L'approximation en matrices non-négatives consiste à identifier deux matrices $W\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{m\times r},H\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{r\times n}$ (où $\mathbb {R} _{\geq 0}$ représente l'ensemble des nombres positifs) telles que

$$A\approx WH.$$

On parle de factorisation lorsque $A=WH$, et d'approximation dans le cas général.