Une base d'Auerbach dans un espace vectoriel normé est une partie libre vérifiant des propriétés spéciales.

Définition

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Soit un espace vectoriel normé. Pour tout vecteur et toute partie de , la distance de à (ou, ce qui revient au même, à l'adhérence de ) est :

La notation désignera l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par .

Une partie de est appelée base d'Auerbach de si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

  • , c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel engendré par est dense dans  ;
  • pour tout vecteur de , on a
    ,
    c'est-à-dire que la norme de est égale à sa distance au sous-espace engendré par les autres vecteurs de  ;
  • le vecteur nul n'appartient pas à .

Une base d'Auerbach est dite base d'Auerbach normée lorsque tous les vecteurs de ont pour norme 1.

Propriétés

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  • Toute base d'Auerbach est :
    • topologiquement libre c'est-à-dire[1] que pour tout de , le vecteur n'appartient pas à , et a fortiori algébriquement libre ;
    • topologiquement génératrice, ou « totale »[1] (c'est ce qu'exprime la condition ), mais pas nécessairement algébriquement génératrice.

(Si est de dimension finie, ces deux notions topologiques sont équivalentes à leurs homologues algébriques.)

  • Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, le lemme d'Auerbach affirme qu'il y a toujours une base d'Auerbach.

Motivation

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Dans un espace préhilbertien, pour tout vecteur et toute partie on a :

(le cas général se déduit du cas particulier où [B] est une droite). Dans un tel espace, la notion de base d'Auerbach normée est donc équivalente à celle de base de Hilbert.

La notion a été définie dans la thèse de Herman Auerbach. La thèse, écrite en 1929, a disparu. Mais la notion a été mentionnée dans une monographie de Stefan Banach de 1932[2].

Définition équivalente

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Dans un espace de Banach , une partie est une base d'Auerbach normée (si et) seulement si :

  •  ;
  • pour tout vecteur de , on a la condition de normalisation  ;
  • pour tout vecteur de , il existe une forme linéaire continue sur (donc un élément du dual topologique de ) de norme 1, nulle sur et telle que .

En effet, d'après une version simplifiée du théorème de Hahn-Banach, pour tout sous-espace vectoriel fermé de l'espace de Banach et tout vecteur n'appartenant pas à , il existe sur une forme linéaire de norme 1, nulle sur , et telle que .

Notes et références

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  1. a et b N. Bourbaki, Éléments de mathématique, EVT I.
  2. Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, édité par M. Garasiński, Varsovie, 1932.

Article connexe

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Base de Schauder