Base d'Auerbach

Une base d'Auerbach dans un espace vectoriel normé est une partie libre vérifiant des propriétés spéciales.

Définition

Soit $X$ un espace vectoriel normé. Pour tout vecteur $a$ et toute partie $B$ de $X$, la distance de $a$ à $B$ (ou, ce qui revient au même, à l'adhérence de $B$) est :

$d(a,B)=\inf _{b\in B}\|a-b\|.$

La notation $[B]$ désignera l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par $B$.

Une partie $A$ de $X$ est appelée base d'Auerbach de $X$ si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

• $[A]=X$, c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel engendré par $A$ est dense dans $X$ ;
• pour tout vecteur $a$ de $A$, on a $\|a\|=d(a,[A\setminus \{a\}])$,c'est-à-dire que la norme de $a$ est égale à sa distance au sous-espace engendré par les autres vecteurs de $A$ ;
• le vecteur nul n'appartient pas à $A$.

Une base d'Auerbach $A$ est dite base d'Auerbach normée lorsque tous les vecteurs de $A$ ont pour norme 1.

Propriétés

• Toute base d'Auerbach $A$ est :
  • topologiquement libre c'est-à-dire que pour tout $a$ de $A$, le vecteur $a$ n'appartient pas à $\scriptstyle [A\setminus \{a\}]$, et a fortiori algébriquement libre ;
  • topologiquement génératrice, ou « totale » (c'est ce qu'exprime la condition $[A]=X$), mais pas nécessairement algébriquement génératrice.

(Si $X$ est de dimension finie, ces deux notions topologiques sont équivalentes à leurs homologues algébriques.)

• Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, le lemme d'Auerbach affirme qu'il y a toujours une base d'Auerbach.

Motivation

Dans un espace préhilbertien, pour tout vecteur $x$ et toute partie $B$ on a :

$\|x\|=d(x,[B])\Leftrightarrow x\perp B$

(le cas général se déduit du cas particulier où [B] est une droite). Dans un tel espace, la notion de base d'Auerbach normée est donc équivalente à celle de base de Hilbert.

La notion a été définie dans la thèse de Herman Auerbach. La thèse, écrite en 1929, a disparu. Mais la notion a été mentionnée dans une monographie de Stefan Banach de 1932.

Définition équivalente

Dans un espace de Banach $X$, une partie $A$ est une base d'Auerbach normée (si et) seulement si :

• $[A]=X$ ;
• pour tout vecteur $a$ de $A$, on a la condition de normalisation $\|a\|=1$ ;
• pour tout vecteur $a$ de $A$, il existe une forme linéaire continue $f$ sur $X$ (donc un élément du dual topologique de $X$) de norme 1, nulle sur $A\setminus \{a\}$ et telle que $f(a)=1$.

En effet, d'après une version simplifiée du théorème de Hahn-Banach, pour tout sous-espace vectoriel fermé $F$ de l'espace de Banach $X$ et tout vecteur $a$ n'appartenant pas à $F$, il existe sur $X$ une forme linéaire $f$ de norme 1, nulle sur $F$, et telle que $f(a)=d(a,F)$.

Notes et références

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Auerbachbasis » (voir la liste des auteurs).
• (en) Bartoszyński et al., « On bases in Banach spaces », in Studia Math., vol. 170, n^o 2, 2005, p. 147-171
• (de) Dirk Werner, Funktionalanalysis, Berlin/Heidelberg/New York, Springer, 2005, 5^e éd., 527 p. (ISBN 3-540-21381-3)

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