Bobines de Helmholtz
Les bobines de Helmholtz, du nom de Hermann Ludwig von Helmholtz, sont un dispositif constitué de deux bobines circulaires de même rayon, parallèles, et placées l'une en face de l'autre à une distance égale à leur rayon. En faisant circuler du courant électrique dans ces bobines, un champ magnétique est créé dans leur voisinage, qui a la particularité d'être relativement uniforme au centre du dispositif dans un volume plus petit que les bobines elles-mêmes.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Helmholtz_coils.png/202px-Helmholtz_coils.png)
Ce type de bobines est souvent utilisé en physique pour créer des champs magnétiques quasi-uniformes relativement faibles avec peu de matériel. On peut par exemple s'en servir pour éliminer le champ magnétique terrestre afin qu'il ne perturbe pas une expérience.
Ce modèle est l'aboutissement d'une succession de travaux qui s'inscrivent dans la lignée de Luigi Galvani et qui avaient pour objectif de comprendre et de reproduire, à des fins pédagogiques, le mécanisme du biosignal en électrophysiologie.
Modélisation
modifierOn peut modéliser les bobines de Helmholtz par deux associations de spires de rayon , parcourues par un courant et séparées d'une distance (voir champ d'une spire de courant).
Champ le long de l'axe
modifier![Champ B bobines Helmholtz](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Champ_B_bobines_helmholtz.png/399px-Champ_B_bobines_helmholtz.png)
On peut calculer l'expression du champ magnétique, via la loi de Biot et Savart, sur l'axe des bobines à partir du champ créé par une bobine sur son axe à une distance de son centre :
où est la perméabilité magnétique du vide.
Le champ magnétique d'une bobine de spires dont le plan de la bobine est centré en (champ ) s'écrit
tandis que le champ magnétique d'une bobine de n spires dont le plan de la bobine est centré en (champ ) s'écrit
Le théorème de superposition (qui découle de la linéarité des équations de Maxwell) nous permet alors d'affirmer que le champ total sur l'axe des bobines est la somme des 2 champs magnétiques précédent, soit
On a alors au centre du système un champ magnétique
On fait apparaître ici les dépendances de la norme du champ aux paramètre du système. Celle ci augmente avec l'intensité et le nombre de spires et diminue avec le rayon des bobines [1].
On peut également définir l'homogénéité du champ magnétique qui est supérieure à sur une distance environ égale à au centre du système. On peut augmenter cette distance en ajoutant des bobines comme avec les bobines de Maxwell.
Configuration anti-Helmholtz
modifier![Champ B anti-Helmholtz](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Champ_B_anti-helmholtz.png/400px-Champ_B_anti-helmholtz.png)
Il est également possible d'utiliser ce dispositif pour créer un piège magnétique. Pour ce faire, on fait circuler des courants opposés dans chacune des bobines. De cette manière, on obtient au centre du piège un champ magnétique nul par symétrie et un gradient de champ magnétique. Un matériau diamagnétique (donc de susceptibilité magnétique ) a tendance à "expulser" le champ magnétique. Il va donc se diriger vers le minimum de champ au centre du piège puis oscillera autour de cette position d'équilibre (on verra que ce piège est un piège harmonique). Ce piège est notamment utilisé pour faire léviter des supraconducteurs qui sont des diamagnétiques parfaits ().
Champ proche du centre du piège
modifierConsidérons de nouveau deux bobines de spires de rayon séparées d'une distance respectivement parcourues par un courant d'intensité et . D'après la loi de Biot et Savart, le champ magnétique généré par une bobine de spires de rayon parcourue par un courant d'intensité en un point de l'espace est
(on imagine ici que la bobine est infiniment fine). Loin de la bobine, i.e. , on peut simplifier cette expression avec la série , on obtient alors
Il est possible de calculer ces intégrales pour chacune des bobines dans l'approximation . En notant respectivement le champ magnétique généré par la bobine située en parcourue par un courant on obtient
A l'aide du théorème de superposition, on en déduit le champ proche du centre du piège (i.e. ) au premier ordre en
Où est homogène à un gradient de champ magnétique (unité T m-1). Au final, on a au centre du piège un champ de la forme
avec . Il est également possible de produire un champ tel que en utilisant des bobines elliptiques.
Harmonicité du piège
modifierLa force qu'exerce un tel champ magnétique sur une bille supraconductrice de volume centrée en est déduite de la résolution analytique des équations de Maxwell-London et vaut
La projection du principe fondamental de la dynamique selon un axe donne
où est la masse volumique de la bille et les les fréquences propres de translation de la bille selon les trois axes. On a donc créé un piège harmonique en trois dimensions.
Bobines de laboratoire
modifierLes caractéristiques typiques de ces bobines sont : cm, A, . Le champ magnétique obtenu au centre vaut donc environ T, ce qui correspond à peu près au champ magnétique terrestre (environ aux pôles contre en France).
Une façon d'obtenir un champ magnétique d'une meilleure uniformité est d'utiliser un solénoïde, mais il présente l'inconvénient d'être plus encombrant que les bobines de Helmholtz, et donc parfois impossible à utiliser. Les bobines de Helmholtz ont en effet l'avantage d'avoir une distribution de champ uniforme dans une zone de l'espace très accessible entre les deux bobines.
Pour obtenir des champs magnétiques plus intenses, il est nécessaire d'utiliser un matériau ferromagnétique doux plus coûteux comme pour un électroaimant. Cependant l'absence d'hystérésis dans les bobines sans noyau ferromagnétique les font préférer aux électroaimants dans les cas où le champ doit être précisément calibré autour du zéro et dans les études à haute fréquence.
Applications
modifier- Les bobines de Helmholtz sont utilisées pour étalonner les magnétomètres.
- Les bobines de Helmholtz sont utilisées pour créer des volumes dans lequel on compense le champ magnétique terrestre.
- C'est une succession de bobines de Helmholtz qui permet le confinement magnétique du plasma dans un Tokamak.
Voir aussi
modifierRéférences
modifier- (en) John R. Reitz, Frederick J. Milford et Robert W. Christy, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-Wesley Publishing Company, , 3e éd., 534 p. (ISBN 0-201-06332-8), p. 170
- (en) J. Hofer et M. Aspelmeyer, « Analytic solutions to the Maxwell–London equations and levitation force for a superconducting sphere in a quadrupole field », Physica Scripta, vol. 94(12), 125508, (DOI /10.1088/1402-4896/ab0c44).