Cœur d'un sous-groupe

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, l'intersection des conjugués, dans un groupe $G$ , d'un sous-groupe $H$ de $G$ est appelée le cœur de $H$ (dans $G$ )^[1] et est notée cœur_G(H)^[2] ou encore $H_{G}$ ^[3].

Le cœur de $H$ dans $G$ est le plus grand sous-groupe normal de $G$ contenu dans $H$ .

Si on désigne par $G$ / $H$ l'ensemble des classes à gauche de $G$ modulo $H$ (cet ensemble n'est pas forcément muni d'une structure de groupe, $H$ n'étant pas supposé normal dans $G$ ), on sait que $G$ opère à gauche sur $G$ / $H$ par :

G\times G/H\rightarrow G/H:(g,X)\mapsto gX

Le cœur de $H$ dans $G$ est le noyau de cette opération. Il en résulte que $G/H_{G}$ est isomorphe à un sous-groupe de $S_{G/H}$ (groupe des permutations de l'ensemble $G/H$ ). En particulier, si $H$ est d'indice fini $n$ dans $G$ , $H_{G}$ est lui aussi d'indice fini dans $G$ et cet indice divise $n!$ (factorielle de $n$ ).

Comme exemple d'usage de la notion de cœur d'un sous-groupe, on peut citer un théorème de Øystein Ore selon lequel deux sous-groupes maximaux d'un groupe fini résoluble qui ont le même cœur sont forcément conjugués^[4]. Ce théorème permet de prouver des théorèmes bien connus de Philip Hall et de Roger Carter (en)^[5].

Notes et références

↑ Jean Delcourt, Théorie des Groupes, 2^e éd., 2007, p. 81, écrit dans une note de bas de page : « [Ce sous-groupe] se nomme en anglais le core de $H$ , ce qui peut se traduire par cœur ». Pierre Fima, Groupes, groupes quantiques et algèbres d'opérateurs, Mémoire d'habilitation, Université Paris Diderot - Paris 7, 2014, en ligne, donne cette définition plus générale : « Soit $\Sigma <H$ un sous-groupe et $S\subset H$ un sous-ensemble. Le cœur de $\Sigma$ relativement à $S$ est l'ensemble cœur_S( $\Sigma$ )= $\bigcap _{h\in S}h^{-1}\Sigma h$ . » Dans la phrase suivante, il désigne par « cœur de $\Sigma$ » le cœur de $\Sigma$ dans $H$ .
↑ Pierre Fima, Groupes, groupes quantiques et algèbres d'opérateurs, Mémoire d'habilitation, Université Paris Diderot - Paris 7, 2014, en ligne
↑ Voir par exemple Yakov Berkovich, « Alternate proofs of some basic theorems of finite group theory », Glasnik Matematički, vol. 40, n^o 60,‎ 2005, p. 207-233 (lire en ligne), p. 207.
↑ O. Ore, « Contributions to the theory of groups of finite order », dans Duke Mathematical Journal, vol. 5 (1938), 431-460. Référence fournie par Berkovich 2005, p. 233, qui donne une démonstration (pp. 210-211).
↑ Voir Berkovich 2005, qui donne des démonstrations (pp. 210-212).

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[1] Jean Delcourt, Théorie des Groupes, 2^e éd., 2007, p. 81, écrit dans une note de bas de page : « [Ce sous-groupe] se nomme en anglais le core de $H$ , ce qui peut se traduire par cœur ». Pierre Fima, Groupes, groupes quantiques et algèbres d'opérateurs, Mémoire d'habilitation, Université Paris Diderot - Paris 7, 2014, en ligne, donne cette définition plus générale : « Soit $\Sigma <H$ un sous-groupe et $S\subset H$ un sous-ensemble. Le cœur de $\Sigma$ relativement à $S$ est l'ensemble cœur_S( $\Sigma$ )= $\bigcap _{h\in S}h^{-1}\Sigma h$ . » Dans la phrase suivante, il désigne par « cœur de $\Sigma$ » le cœur de $\Sigma$ dans $H$ .

[2] Pierre Fima, Groupes, groupes quantiques et algèbres d'opérateurs, Mémoire d'habilitation, Université Paris Diderot - Paris 7, 2014, en ligne

[3] Voir par exemple Yakov Berkovich, « Alternate proofs of some basic theorems of finite group theory », Glasnik Matematički, vol. 40, n^o 60,‎ 2005, p. 207-233 (lire en ligne), p. 207.

[4] O. Ore, « Contributions to the theory of groups of finite order », dans Duke Mathematical Journal, vol. 5 (1938), 431-460. Référence fournie par Berkovich 2005, p. 233, qui donne une démonstration (pp. 210-211).

[5] Voir Berkovich 2005, qui donne des démonstrations (pp. 210-212).

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