Calcul différentiel

En mathématiques, le calcul différentiel est un sous-domaine de l'analyse qui étudie les variations locales des fonctions. C'est l'un des deux domaines traditionnels de l'analyse, l'autre étant le calcul intégral, utilisé notamment pour calculer l'aire sous une courbe.

Le graphe d'une fonction arbitraire $y=f(x)$ (bleu). Graphiquement, la dérivée de $f$ en $x\approx 1.8$ est la pente de la droite orange (tangente à la courbe en $x\approx 1.8$).

Le calcul de la dérivée d'une fonction est, avec des notions connexes telles que la différentielle et leurs applications (équations différentielles, etc.) l'un des principaux objets d'étude du calcul différentiel. Géométriquement, la dérivée en un point d'une fonction à valeurs réelles est la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point. Pour certaines fonction et en certains points, la dérivée peut ne pas exister ou ne pas être définie.

Le calcul différentiel a des applications dans de nombreuses disciplines quantitatives.

Histoire

Les premières traces du principe de tangente à une courbe proviennent des mathématiciens grecs antiques, tels qu'Euclide, Archimède, et Apollonios de Perga.

Concernant les calculs d'aires et de volumes, Archimède, célèbre pour son utilisation de la méthode d'exhaustion pour ses démonstrations, utilisait en parallèle une méthode proche de la méthode des indivisibles pour les déterminer. On peut voir cette méthode comme un ancêtre du calcul intégral.

L'utilisation des infinitésimaux pour étudier un taux de variation en un point est déjà développée par Bhāskara II. Beaucoup de résultats de calcul différentiel ont été retrouvés dans son travail (comme le théorème de Rolle).

Le calcul différentiel moderne a été créé, suivant deux voies différentes, par Leibniz et Newton.

Dérivée

Le graphe de $y=x^{2}$, avec une droite tangente à $(2,4)$. La pente de la droite tangente est égale à $4$. (Notez que les axes du graphique ne sont pas à l'échelle 1:1.)

En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de l’image de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Le calcul de dérivées est un outil fondamental du calcul infinitésimal.

Définition formelle

Soit ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$ une application de ${\textstyle I}$, un intervalle réel d’intérieur ${\stackrel {\ \circ }{I}}$ non-vide, dans l'ensemble des nombres réels. On dira que ${\textstyle f}$ est dérivable en un point $x_{0}\in {\stackrel {\ \circ }{I}}$ si le taux d'accroissement de $f$ en $x_{0}$ admet une limite en $0$ :

$$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{x_{0}+h-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.$$

Si ${\textstyle f}$ est dérivable en ${\textstyle x_{0}}$, sa dérivée en ${\textstyle x_{0}}$ est égale à la limite du taux d'accroissement. On la note alors $f'(x_{0})$ ou ${\dfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})$. Enfin, si ${\textstyle f}$ est dérivable en tous points de $I$, on définit la fonction dérivée de $f$ comme l'application :

$${\begin{aligned}f':I&\longrightarrow \mathbb {\mathbb {R} } \\x&\longmapsto f'(x).\end{aligned}}$$

La différentielle généralise l'idée de dérivée en un point aux fonction de plusieurs variables ou à valeurs vectorielles, mais n'est pas traitée ici (voir l'article sur la différentielle).

Applications

La dérivation a des applications dans presque tous les domaines quantitatifs. Par exemple, les dérivées sont fréquemment utilisées pour trouver les extremums (maximums et minimums, ou maxima et minima en français latin) d'une fonction.

Équations différentielles

Les équations impliquant des dérivées sont appelées équations différentielles. Elles sont fondamentales pour décrire les phénomènes naturels et utilisées dans de nombreuses disciplines scientifiques.

En physique

En mécanique, la vitesse d'un objet est définie par la dérivée de la position de l'objet par rapport au temps. L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. D'après la deuxième loi de Newton, appelée principe fondamental de la dynamique, la masse $m$, supposée constante, d'un objet multipliée par la dérivée du vecteur vitesse de cet objet par rapport au temps est égale à la somme vectorielle des forces $F_{i}$ appliquées à cet objet, ce qui s'écrit mathématiquement par l'équation différentielle :

$${\begin{aligned}m{d{\vec {v}} \over dt}=\sum _{i}{{\vec {\mathrm {F} }}_{i}}.\end{aligned}}$$

En dynamique des populations

En dynamique des populations, on modélise l'évolution de la taille d'une population. Le nombre d'individus $N(t)$ est modélisé par une fonction qui dépend du temps. La vitesse d'évolution est la dérivée de cette fonction : $N'(t)$.

Un modèle simple est celui donné par Thomas Malthus. On considère que la vitesse d'évolution de la population est proportionnelle à la population elle-même :

$${\begin{aligned}N'(t)=\lambda N(t)\end{aligned}}$$

où $\lambda$ est une valeur réelle liée à la natalité et la mortalité de la population. La fonction $N(t)$ est connue et donnée par $N(t)=N_{0}\exp(\lambda t)$ où $N_{0}$ est la population initiale. On parle de croissance exponentielle.

Les équations de Malthus, de Verhulst et de Lotka-Volterra sont des exemples classiques de modèles utilisés en dynamique des populations. Ces relations impliquent généralement un taux de natalité et un taux de mortalité, et parfois les autres espèces du système (par exemple : Équations de prédation de Lotka-Volterra).

Autres

En chimie, la vitesse d'une réaction est donnée par la dérivée de la concentration des espèces chimiques impliquées par rapport au temps.

En recherche opérationnelle, les dérivées permettent de déterminer les moyens les plus efficaces de transporter des matériaux et de concevoir des usines.

Dans un circuit électrique, les grandeurs telles que l'intensité et la tension varient en fonction du temps et sont liées entre elles dans des équations différentielles.

Les dérivées et leurs généralisations apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'analyse complexe, l'analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle, la théorie de la mesure et l'algèbre abstraite.

Voir aussi

• Différentielle
• Dérivée partielle
• Primitive

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Differencial calculus » (voir la liste des auteurs).