Catégorie à involution

En mathématiques, une †-catégorie (catégorie dague, également appelée catégorie involutive ou catégorie à involution^[1]^,^[2]) est une catégorie dotée d'une certaine structure appelée dague ou involution. Le nom de catégorie dague a été inventée par Selinger^[3].

Définition formelle

Une †-catégorie est une catégorie $𝒞$ dotée d'un foncteur involutif $^{†} : 𝒞^{o p} \to 𝒞$ qui correspond à l'identité sur les objets, où $𝒞^{o p}$ est la catégorie opposée (ie un foncteur contravariant $^{†} : 𝒞 \to 𝒞$ tel que composé par lui-même, donne le foncteur trivial $id : 𝒞 \to 𝒞$ ).

Plus précisément, cela signifie que ce foncteur associe à tout morphisme $f : A \to B$ de $𝒞$ son adjoint $f^{†} : B \to A$ , de sorte que pour tous $f : A \to B$ et $g : B \to C$ , on ait :

${i d}_{A} = {i d}_{A}^{†} : A \to A$
$(g \circ f)^{†} = f^{†} \circ g^{†} : C \to A$
$f^{† †} = f : A \to B$

Notez que dans la définition précédente, le terme "adjoint" est utilisé de manière analogue à celui de l'algèbre linéaire, et non en le sens de la théorie des catégories.

Certaines sources^[4] définissent une †-catégorie comme une †-catégorie, avec la propriété supplémentaire que sa collection de morphismes est partiellement ordonnée, et que l'ordre des morphismes est compatible avec la composition des morphismes, c'est-à-dire : $a < b$ implique $a \circ c < b \circ c$ pour les morphismes $a$ , $b$ , $c$ , dès que les composées ont un sens.

Exemples

La catégorie Rel des ensembles et des relations binaires possède une structure de †-catégorie : pour une relation donnée $R : X \to Y$ dans Rel, la relation $R^{†} : Y \to X$ est la relation inverse de $R$ . Dans cet exemple, un morphisme auto-adjoint est une relation symétrique.
La catégorie Cob des cobordismes est une †-catégorie compacte.
La catégorie Hilb des espaces de Hilbert possède également une structure de †-catégorie : étant donné une application linéaire continue $f : A \to B$ , l'adjoint $f^{†} : B \to A$ est juste son adjoint au sens usuel.
Tout monoïde à involution est une †-catégorie avec un seul objet.
Une catégorie discrète est trivialement une †-catégorie, où le foncteur † est le foncteur trivial.
Un groupoïde (et donc a fortiori un groupe) a également une structure de †-catégorie, où l'adjoint d'un morphisme est défini comme son inverse. Dans ce cas, tous les morphismes sont unitaires.

Morphismes remarquables

Dans une †-catégorie $𝒞$ , un morphisme $f$ est appelé

unitaire si c'est un isomorphisme tel que $f^{†} = f^{- 1}$ ;
auto-adjoint si c'est un endomorphisme tel que $f^{†} = f$

Les termes unitaire et auto-adjoint dans la définition précédente sont directement inspirés de la catégorie des espaces de Hilbert, où les morphismes satisfaisant ces propriétés sont alors unitaires et auto-adjoints au sens habituel.

*-algèbre
†-catégorie monoïdale symétrique
†-catégorie compacte

Références

↑ M. Burgin, Categories with involution and correspondences in γ-categories, IX All-Union Algebraic Colloquium, Gomel (1968), pp.34–35; M. Burgin, Categories with involution and relations in γ-categories, Transactions of the Moscow Mathematical Society, 1970, v. 22, pp. 161–228
↑ J. Lambek, Diagram chasing in ordered categories with involution, Journal of Pure and Applied Algebra 143 (1999), No.1–3, 293–307
↑ P. Selinger, Dagger compact closed categories and completely positive maps, Proceedings of the 3rd International Workshop on Quantum Programming Languages, Chicago, June 30–July 1, 2005.
↑ (en) « Catégorie à involution », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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[Burgin-1] M. Burgin, Categories with involution and correspondences in γ-categories, IX All-Union Algebraic Colloquium, Gomel (1968), pp.34–35; M. Burgin, Categories with involution and relations in γ-categories, Transactions of the Moscow Mathematical Society, 1970, v. 22, pp. 161–228

[Lambek-2] J. Lambek, Diagram chasing in ordered categories with involution, Journal of Pure and Applied Algebra 143 (1999), No.1–3, 293–307

[Selinger-3] P. Selinger, Dagger compact closed categories and completely positive maps, Proceedings of the 3rd International Workshop on Quantum Programming Languages, Chicago, June 30–July 1, 2005.

[4] (en) « Catégorie à involution », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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