Catégorie des groupes abéliens

En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens.

Définition

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Catégorie des groupes abéliens

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La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi :

C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes.

La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur  :

.

Catégories enrichies sur Ab

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La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie. Les catégories enrichies sur Ab sont dites préadditives (en).

Adjonctions

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On a un foncteur d'oubli naturel U sur Ab qui consiste à « oublier » la structure de groupe . Ce foncteur admet un adjoint à gauche représenté par le foncteur libre qui associe à un ensemble le groupe abélien librement engendré par cet ensemble. La catégorie Ab est donc concrète.

Propriétés de la catégorie des groupes abéliens

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Propriétés catégoriques

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Morphismes

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Limites

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Notes et références

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  1. C'est le critère de Baer sur les modules injectifs.

Référence

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(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]