Centre d'un groupe
En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres[1].
Cet article ne cite pas suffisamment ses sources ().
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Définition
modifierSoit G un groupe, noté multiplicativement. Son centre ZG est
Propriétés
modifier- Dans G, ZG est un sous-groupe normal — comme noyau du morphisme de groupes ι ci-dessous — et même un sous-groupe caractéristique.
- Tout sous-groupe de ZG est sous-groupe normal de G.
- ZG est abélien.
Exemples
modifier- Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire : ZG = G.
- Le centre du groupe alterné An est trivial pour n ≥ 4.
- Le centre du groupe linéaire GLn(R) est le sous-groupe des matrices scalaires non nulles, pour tout anneau commutatif R.
Application
modifierL'action par conjugaison de G sur lui-même est le morphisme de G dans le groupe des automorphismes de G
où ιg est l'automorphisme intérieur défini par
Le sous-groupe Int(G) est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G. Ce résultat permet de montrer que tout groupe fini dont l'ordre est le carré d'un nombre premier est abélien.
On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :
Notons également qu'un groupe est abélien, si et seulement si, le quotient par son noyau est cyclique.
Notes et références
modifier- ↑ « Centre d'un groupe : définition et notation Z(G) », sur Tangente Magazine, (consulté le )
