Circuit équivalent de KLM

Le circuit équivalent dit de KLM est utilisé dans la simulation de transducteurs piézoélectriques, qu'il s'agisse de transducteurs ultrasonores^[1] ou de filtres à ondes de volume par exemple^[2].

Il doit son nom aux trois coauteurs de la publication originale remontant à 1970 : Krimholtz, Leedom and Matthae^[3]. Il s'appuie sur la théorie des lignes de transmission et sur l'analogie électro-mécanique. L'autre schéma largement utilisé est le circuit équivalent de Mason, les deux présentant nombre de ressemblances.

Schéma d'une couche piézoélectrique

Le schéma présente trois ports : un port électrique, dont les deux terminaux correspondent aux deux électrodes placées sur les faces de la couche piézoélectrique, et deux ports mécaniques, qui, par le biais de l'analogie électro-mécanique, représentent la force et la vitesse sur chaque face.

Les termes utilisés pour construire le schéma sont les suivants^[4] :

Géométrie :
- $A$ la surface de la couche (en m²)
- $t$ son épaisseur (m)
Propriétés du matériau :
- la rigidité du matériau dans l'axe 3 : $C_{33}^{D}$ (en N m⁻²) ;
- la permittivité relative à déformation constante : $ε_{33}^{S}$ (adimensionnelle)
- la constante piézoélectrique : $h_{33}$ (V/m).
- la masse volumique : $ρ$ (kg m⁻³).
- la célérité dans l'épaisseur : $v^{D} = \sqrt{\frac{C_{33}^{D}}{ρ}}$
- l'impédance mécanique : $Z_{0} = A \sqrt{C_{33}^{D} ρ}$
l'impédance mécanique appliquée sur les deux faces : $Z_{G}$ , $Z_{D}$ (gauche et droite)
la fréquence angulaire $ω$ (s⁻¹)
le nombre d'onde $Γ = ω \sqrt{(\frac{ρ}{c_{33}})}$
Termes du schéma :
- Capacité électrique statique : $C_{0} = \frac{ε_{33}^{S} A}{t}$
- coefficient de transformation $ϕ = \frac{ω Z_{0}}{2 h_{33}} c s c (\frac{Γ t}{2})$
- Les impédances ramenées :
  - A gauche : $Z_{T G} = (\frac{Z_{G} c o s (\frac{Γ t}{2}) + i Z_{0} s i n (\frac{Γ t}{2})}{Z_{0} c o s (\frac{Γ t}{2}) + i Z_{G} s i n (\frac{Γ t}{2})})$
  - A droite : $Z_{T D} = (\frac{Z_{D} c o s (\frac{Γ t}{2}) + i Z_{0} s i n (\frac{Γ t}{2})}{Z_{0} c o s (\frac{Γ t}{2}) + i Z_{D} s i n (\frac{Γ t}{2})})$
- Le terme de réactance $X_{1} = i \frac{h_{33}^{2}}{ω^{2} Z_{0}} s i n (Γ t)$

Oscillateur libre

Dans le cas où la couche piézoélectrique est « dans le vide », les deux ports mécaniques sont libres (pression nulle). On a donc $Z_{G} = Z_{D} = 0$ .

Il en ressort que $Z_{T G} = Z_{T D} = Z_{0} t a n (\frac{Γ t}{2})$

L'impédance vue du port électrique vaut alors :

$Z_{f r e e} = \frac{1}{i C_{0} ω} + X_{1} + \frac{Z_{0}}{2 ϕ^{2}} t a n (\frac{Γ t}{2})$

Soit en remplaçant les termes par leur expression respective :

$Z_{f r e e} = \frac{t}{i ε_{33}^{S} A ω} + i \frac{h_{33}^{2}}{ω^{2} Z_{0}} s i n (Γ t) + \frac{2 h_{33}^{2}}{ω^{2} Z_{0} c s c^{2} (\frac{Γ t}{2})} t a n (\frac{Γ t}{2})$

On peut alors factoriser l'expression de la capacité et remplacer $Z_{0}$ par son expression :

$Z_{f r e e} = (\frac{t}{i ω A ε_{33}^{S}}) (1 + \frac{A ε_{33}^{S} h_{33}^{2}}{ω A \sqrt{C_{33}^{D} ρ}} s i n (Γ t) + \frac{2 i ε_{33}^{S} h_{33}^{2}}{ω \sqrt{C_{33}^{D} ρ}} \frac{s i n^{3} (\frac{Γ t}{2})}{c o s (\frac{Γ t}{2})})$

On pose le coefficient de couplage électromécanique du mode épaisseur $k_{t}$ , qu'il ne faut pas confondre avec le $k_{33}$ :

$k_{t}^{2} = \frac{ε_{33}^{S} h_{33}^{2}}{c_{33}^{S}}$

Par remplacement : $Z_{f r e e} = (\frac{t}{i ω A ε_{33}^{S}}) (1 + k_{t}^{2} \frac{\sqrt{C_{33}^{D}}}{ω \sqrt{ρ}} s i n (Γ t) + k_{t}^{2} \frac{2 i \sqrt{C_{33}^{D}}}{ω \sqrt{ρ}} \frac{s i n^{3} (\frac{Γ t}{2})}{c o s (\frac{Γ t}{2})})$

On identifie $Γ$ et on factorise $k_{t}^{2}$ :

Par remplacement : $Z_{f r e e} = (\frac{t}{i ω A ε_{33}^{S}}) (1 + k_{t}^{2} (\frac{s i n (Γ)}{Γ} + \frac{2 i}{Γ} \frac{s i n^{3} (\frac{Γ t}{2})}{c o s (\frac{Γ t}{2})}))$

D'où finalement :

$Z_{f r e e} = (\frac{t}{i ω A ε_{33}^{S}}) (1 - k_{t}^{2} \frac{t a n \frac{Γ t}{2}}{\frac{Γ t}{2}}) = (\frac{t}{i ω A ε_{33}^{S}}) (1 - k_{t}^{2} \frac{t a n (\frac{t ω}{2} \sqrt{\frac{ρ}{C_{33}^{D}}})}{(\frac{t ω}{2} \sqrt{\frac{ρ}{C_{33}^{D}}})})$ .

Cette expression, qui est la même qu'en utilisant le circuit équivalent de Mason est notamment utile pour déterminer les propriétés piézoélectriques du matériau par problème inverse, l'impédance électrique étant facile à mesurer expérimentalement^[5].

La résonance se manifeste pour :

$\frac{Γ t}{2} = \frac{π}{2}$

$ω_{λ / 2} = \frac{π}{t} \sqrt{\frac{c_{33}}{ρ}}$

Prise en compte des pertes

Dans l'expression ci-dessus, l'impédance est purement imaginaire (il n'y a donc aucune dissipation d'énergie) et diverge à la résonance. Cette situation n'est évidemment pas physique, et se résout en prenant en compte les pertes. Les pertes mécaniques se manifestent en ajoutant une petite partie imaginaire au $c_{33}^{D}$ . De même, on ajoute une partie imaginaire au $ε_{33}^{S}$ pour représenter les pertes diélectriques, et au $h_{33}$ pour les pertes intrinsèques à l'effet piézoélectrique^[6].

On représente ici l'impédance électrique réduite d'une plaque piézoélectrique libre, résonant dans son mode épaisseur, conformément à l'équation ci-dessus. En bleu, le modèle ne comprend pas de pertes, en vert, on a ajouté un taux de pertes de 1 %. La fréquence est réduite, c'est-à-dire que la fréquence correspondance à la résonance $λ / 2$ est ramenée à 1. De même, la valeur de l'impédance est normalisée.

Références

↑ Laurent Goujon, Étude des composites piézo-électriques 1.3 pour applications électroacoustiques sous-marines (thèse de doctorat), Laboratoire de Génie Électrique et Ferroélectricité de l’INSA de Lyon
↑ C. Collado, E. Rocas, J. Mateu et A. Padilla, « Nonlinear Distributed Model for Bulk Acoustic Wave Resonators », IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 57, n^o 12,‎ décembre 2009, p. 3019–3029 (ISSN 0018-9480 et 1557-9670, DOI 10.1109/TMTT.2009.2034211, lire en ligne, consulté le 6 octobre 2019)
↑ (en) R. Krimholtz, D.A. Leedom et G.L. Matthaei, « New equivalent circuits for elementary piezoelectric transducers », Electronics Letters, vol. 6, n^o 13,‎ 1970, p. 398 (DOI 10.1049/el:19700280, lire en ligne, consulté le 6 octobre 2019)
↑ S. Sherrit, S.P. Leary, B.P. Dolgin et Y. Bar-Cohen, « Comparison of the Mason and KLM equivalent circuits for piezoelectric resonators in the thickness mode », 1999 IEEE Ultrasonics Symposium. Proceedings. International Symposium (Cat. No.99CH37027), IEEE, vol. 2,‎ 1999, p. 921–926 (ISBN 9780780357228, DOI 10.1109/ULTSYM.1999.849139, lire en ligne, consulté le 6 octobre 2019)
↑ (en) « 176-1987 », IEEE standards,‎ 1988 (DOI 10.1109/ieeestd.1988.79638, lire en ligne, consulté le 16 mai 2019)
↑ (en) Amador González, Álvaro García, César Benavente-Peces et Lorena Pardo, « Revisiting the Characterization of the Losses in Piezoelectric Materials from Impedance Spectroscopy at Resonance », Materials, vol. 9, n^o 2,‎ 26 janvier 2016, p. 72 (ISSN 1996-1944, PMID 28787872, PMCID PMC5456465, DOI 10.3390/ma9020072, lire en ligne, consulté le 17 octobre 2019)

Portail de la physique

[1] Laurent Goujon, Étude des composites piézo-électriques 1.3 pour applications électroacoustiques sous-marines (thèse de doctorat), Laboratoire de Génie Électrique et Ferroélectricité de l’INSA de Lyon

[2] C. Collado, E. Rocas, J. Mateu et A. Padilla, « Nonlinear Distributed Model for Bulk Acoustic Wave Resonators », IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 57, n^o 12,‎ décembre 2009, p. 3019–3029 (ISSN 0018-9480 et 1557-9670, DOI 10.1109/TMTT.2009.2034211, lire en ligne, consulté le 6 octobre 2019)

[3] (en) R. Krimholtz, D.A. Leedom et G.L. Matthaei, « New equivalent circuits for elementary piezoelectric transducers », Electronics Letters, vol. 6, n^o 13,‎ 1970, p. 398 (DOI 10.1049/el:19700280, lire en ligne, consulté le 6 octobre 2019)

[4] S. Sherrit, S.P. Leary, B.P. Dolgin et Y. Bar-Cohen, « Comparison of the Mason and KLM equivalent circuits for piezoelectric resonators in the thickness mode », 1999 IEEE Ultrasonics Symposium. Proceedings. International Symposium (Cat. No.99CH37027), IEEE, vol. 2,‎ 1999, p. 921–926 (ISBN 9780780357228, DOI 10.1109/ULTSYM.1999.849139, lire en ligne, consulté le 6 octobre 2019)

[5] (en) « 176-1987 », IEEE standards,‎ 1988 (DOI 10.1109/ieeestd.1988.79638, lire en ligne, consulté le 16 mai 2019)

[6] (en) Amador González, Álvaro García, César Benavente-Peces et Lorena Pardo, « Revisiting the Characterization of the Losses in Piezoelectric Materials from Impedance Spectroscopy at Resonance », Materials, vol. 9, n^o 2,‎ 26 janvier 2016, p. 72 (ISSN 1996-1944, PMID 28787872, PMCID PMC5456465, DOI 10.3390/ma9020072, lire en ligne, consulté le 17 octobre 2019)

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