Soient des variables aléatoires
i.i.d. définies sur un espace de probabilité
à valeurs dans un espace mesurable
et
une classe de fonctions mesurables de
à valeurs réelles. On dit que
est une classe de Donsker si elle vérifie la propriété
![{\displaystyle \alpha _{n}{\underset {n\to +\infty }{\overset {\mathcal {L}}{\longrightarrow }}}\mathbb {G} \qquad {\text{ dans }}\ell ^{\infty }({\mathcal {F}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eff4ed45476cd0927bafce17c03ba032c2cda0d)
avec
le processus empirique indexé par la classe de fonctions
et
le pont brownien indexé par
, i.e. le processus gaussien centré dont la fonction de covariance est donnée par
![{\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}},\quad {\text{Cov}}(\mathbb {G} (f),\mathbb {G} (g))=\mathbb {E} [f(X)g(X)]-\mathbb {E} [f(X)]\mathbb {E} [g(X)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7648c7821e0a9c31a8e93072daa019b7f7253280)
Puisqu'une classe de Donsker
dépend de la mesure
la loi des
, on peut dire en cas d'éventuelle confusion sur la loi que
est une classe de
-Donsker.
En particulier, le théorème de Donsker revient à dire que la classe des fonctions indicatrices
est une classe de Donsker. Ce théorème dit donc que le processus empirique converge en loi vers un pont brownien.
Les conditions suffisantes évoquées dans cette partie[1] impliquent implicitement la continuité du processus limite d'après le théorème de Dudley[2].
Condition avec l'entropie avec crochet
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Soit
une classe de fonctions mesurables vérifiant
![{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\sqrt {H_{[\ ]}({\mathcal {F}},\varepsilon ,L_{2}(P))}}\mathrm {d} \varepsilon <+\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306e350da94aa09b36bf2cd8f6dd80ea841e8c32)
où
est le logarithme de
, le nombre de recouvrements avec crochets de
de rayon
et avec la distance
. Alors
est une classe de Donsker
On note
le logarithme de
du nombre de recouvrement de
de rayon
et avec la distance
. Supposons que
est une classe de fonctions satisfaisant les conditions
, où
est une enveloppe de
et le supremum est pris sur l'ensemble des mesures de probabilité discrètes de
telles que
;
- Les classes
et
sont
-mesurables pour tout
;
avec
une enveloppe de
.
Alors
est
-Donsker.
La première condition est généralement appelée « condition d'entropie uniforme ».
Condition avec les deux entropies
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Soit
une classe de fonctions mesurables vérifiant
![{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\log N_{[\ ]}({\mathcal {F}},\varepsilon ,L_{2,\infty }(P))}}\mathrm {d} \varepsilon +\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\log N({\mathcal {F}},\varepsilon ,L_{2}(P))}}\mathrm {d} \varepsilon <+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fbebcf515eb1215240ad2991c3a1fbde95c962)
De plus, on suppose que
possède une enveloppe
admettant un moment de second ordre faible (i.e.
). Alors
est une classe de
-Donsker.
- ↑ (en) Aad W. Van Der Vaart et Jon. A. Wellner, Weak convergence and empirical processes with applications to statistics, Springer, p. 127
- ↑ (en) Michel Ledoux et Michel Talagrand, Probability in Banach spaces, Springer, p. 321