Classe de Selberg

En mathématiques , la classe de Selberg est une définition axiomatique d'une classe de fonctions L. Les éléments de la classe sont des séries de Dirichlet qui obéissent à quatre axiomes ayant pour objectif d'énoncer les propriétés fondamentales satisfaites par la plupart des fonctions communément appelées fonctions L ou fonctions zêta.

Portrait de Atle Selberg

Bien que la nature exacte de la classe soit encore à l'état de conjecture, on espère que sa définition conduira à une classification de son contenu et à une élucidation de ses propriétés, y compris une idée plus claire de leurs liens avec les formes automorphes et avec l'hypothèse de Riemann. La classe a été introduite par Atle Selberg dans (Selberg 1992), qui a préféré ne pas utiliser le terme axiome utilisé ultérieurement par d'autres auteurs.

Définition

La définition formelle de la classe S est l’ensemble de toutes les séries de Dirichlet

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

absolument convergentes pour Re ( s )   >   1 qui satisfont quatre axiomes (ou hypothèses telles que les nomme Selberg):

1. analyticité: $F(s)$ se prolonge en une fonction méromorphe dans tout le plan complexe, avec un unique pôle (s'il existe) quand s vaut 1;
2. conjecture de Ramanujan: $a_{1}=1$ et $a_{n}\ll _{\epsilon }n^{\epsilon }$ pour tout $\epsilon >0$;
3. équation fonctionnelle: il existe un facteur $\gamma$ de la forme

$\gamma (s)=Q^{s}\prod _{i=1}^{k}\Gamma (\omega _{i}s+\mu _{i})$

où Q est réel et positif, $\Gamma$ est la fonction gamma, les $\omega _{i}$ sont réels et positifs et les $\mu _{i}$ sont des nombres complexes de partie réelle positive, et il existe également une racine de l'unité

$\alpha \in \mathbb {C} ,|\alpha |=1$

tel que la fonction

$\Phi (s)=\gamma (s)F(s)$

satisfasse

$\Phi (s)=\alpha {\overline {\Phi (1-{\overline {s}}))}};$

1. produit eulérien: pour Re(s) > 1, F(s) peut s'écrire comme le produit portant sur tous les nombres premiers:

$F(s)=\prod _{p}F_{p}(s)$

avec $F_{p}(s)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{p^{n}}}{p^{ns}}}$

et pour $\theta <{\frac {1}{2}}$,

$b_{p^{n}}=O(p^{n\theta }).$

Commentaires sur la définition

La condition que la partie réelle de μ _i soit positive est qu'il existe des fonctions L qui ne satisfont pas l'hypothèse de Riemann lorsque μ _i est négatif. Plus précisément, il existe des formes de Maass associées à des valeurs propres exceptionnelles, pour lesquelles la conjecture de Ramanujan-Peterssen est vérifiée , et ont une équation fonctionnelle, mais ne vérifient pas l'hypothèse de Riemann.

La condition que θ < 1/2 est importante, car le cas θ = 1/2 inclut la fonction eta de Dirichlet, qui viole l'hypothèse de Riemann.

C’est une conséquence de 4. que les a _n sont multiplicatifs et que

$F_{p}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{p^{n}}}{p^{ns}}}{\text{ for Re}}(s)>0.$

Exemples

L'exemple prototypique d'un élément en S est la fonction zêta de Riemann. Un autre exemple est la fonction L du discriminant modulaire Δ

$L(s,\Delta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

où $a_{n}=\tau (n)/n^{11/2}{\text{ et }}\tau (n)$est la fonction tau de Ramanujan .

Tous les exemples connus sont des fonctions L automorphes et les inverses de F _p ( s ) sont des polynômes en p ^{- s} de degré lié.

Les meilleurs résultats sur la structure de la classe de Selberg sont dus à Kaczorowski et Perelli, qui montrent que les fonctions L de Dirichlet (y compris la fonction zêta de Riemann) sont les seuls exemples avec un degré inférieur à 2.

Propriétés de base

Comme avec la fonction zêta de Riemann, un élément F de S a des zéros triviaux issus des pôles du facteur gamma γ ( s ). Les autres zéros sont appelés zéros non triviaux de F. Ceux-ci seront tous situés dans une bande 1 − A ≤ Re(s) ≤ A. En indiquant le nombre de zéros non triviaux de F avec 0 ≤ Im(s) ≤ T par N _F ( T ), Selberg a montré que

$N_{F}(T)d_{F}{\frac {T\log(T+C)}{2\pi }}+O(\log T)$

Ici, d _F est appelé le degré (ou dimension) de F. Il est donné par

$d_{F}=2\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}$

On peut montrer que F   =   1 est la seule fonction en S dont le degré est inférieur à 1.

Si F et G appartiennent à la classe de Selberg, leurs produits aussi et

$d_{FG}=d_{F}+d_{G}.$

Une fonction F ≠ 1 en S est appelée primitive si chaque fois qu'elle est écrite en tant que F   =   F ₁ F ₂ , avec F _i dans S , puis F   =   F ₁ ou F   =   F ₂ . Si d _F   =   1, alors F est une primitive. Toute fonction F ≠ 1 de S peut être écrite comme un produit de fonctions primitives. Les conjectures de Selberg, décrites ci-dessous, impliquent que la factorisation en fonctions primitives est unique.

Des exemples de fonctions primitives incluent la fonction zêta de Riemann et les fonctions L de Dirichlet des caractères de Dirichlet primitifs. En supposant les conjectures 1 et 2 ci-dessous, les fonctions L de représentations automorphes cuspidiennes irréductibles qui satisfont la conjecture de Ramanujan sont primitives.

Les conjectures de Selberg

Dans (Selberg 1992), Selberg a formulé des conjectures concernant les fonctions de S :

• Conjecture 1: pour tout F dans S , il existe un entier n _F tel que

$\sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=n_{F}\log \log x+O(1)$

et où $n_{F}=1$ quand F est primitive.

• Conjecture 2: Pour des primitives distinctes F ,   F ′   ∈   S ,

$\sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}a_{p'}}{p}}=O(1)$

• Conjecture 3: Si F appartient à S avec une factorisation primitive

$F=\prod _{i=1}^{m}F_{i},$

si χ est un caractère de Dirichlet primitif, et si la fonction

$F^{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}$

est également dans S, alors les fonctions F _i ^χ sont des éléments primitifs de S (et, par conséquent, ils forment la factorisation primitive de F ^χ).

• Hypothèse de Riemann pour S: pour tout F dans S, les zéros non triviaux de F se trouvent tous sur la droite Re (s)   =   1/2.

Conséquences des conjectures

Les conjectures 1 et 2 impliquent que si F a un pôle d'ordre m en s   =   1, alors F(s)/ζ(s)^m est entier. En particulier, elles impliquent la conjecture de Dedekind.

M. Ram Murty a montré dans (Murty 1994) que les conjectures 1 et 2 impliquent la conjecture d'Artin. En fait, Murty a montré que les fonctions d’ Artin L correspondant aux représentations irréductibles du groupe de Galois d’une extension des rationnels résoluble sont automorphes, comme le prédisent les conjectures de Langlands.

Les fonctions S satisfont aussi un analogue du théorème des nombres premiers : F(s) n'a pas de zéros sur la droite Re(s)   =   1. Comme mentionné ci-dessus, les conjectures 1 et 2 impliquent la factorisation unique des fonctions de S en fonctions primitives. Une autre conséquence est que la primitivité de F est équivalente à n _F   =   1.

Voir également

• Liste de fonctions zêta

Notes et références

Bibliographie

• Atle Selberg, Anciennes et nouvelles conjectures et résultats concernant une classe de séries de Dirichlet, Actes de la Conférence amalfitaine sur la théorie analytique des nombres (Maiori, 1989), Salerno: Univ. Salerno, 1992, p. 367–385
• J. Brian Conrey, Amit Ghosh, Série de Dirichlet sur les Selberg: petits degrés, Duke Mathematical Journal, 72 (3), 1993 : 673-693
• M. Ram Murty, Conjectures de Selberg et fonctions d'Artin L, Bulletin de la Société mathématique américaine, nouvelle série, Société mathématique américaine, 31 (1), 1994 : 1–14
• M. Ram Murty, Problèmes de théorie des nombres analytique, Textes de maîtrise en mathématiques, Lectures en mathématiques, 206 (deuxième éd.), Springer-Verlag, chapitre 8, 2008, (ISBN 978-0-387-72349-5)