Coefficient binomial central

En mathématiques le coefficient binomial central d'ordre n est le coefficient binomial défini par :

Les coefficients binomiaux centraux comme colonne médiane du triangle de Pascal

$\operatorname {CBC} (n)={\dbinom {2n}{n}}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {n+k}{k}}{\text{ pour tout }}n\geqslant 0.$

Il est ainsi nommé pour la position centrale qu'il occupe dans la liste des ${\dbinom {2n}{k}}$ pour $0\leqslant k\leqslant 2n$ (ligne d'indice $2n$ du triangle de Pascal) ; l'identité de Vandermonde : ${\binom {2n}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}$montre qu'il s'obtient par la somme des carrés des termes de la ligne d'indice $n$ de ce triangle.

Pour les premières valeurs de n, celles du coefficient binomial central associé sont : 1, 2, 6, 20, 70, 252. La liste de toutes les valeurs constitue la suite A000984 de l'OEIS.

Propriétés liées à la divisibilité

Autour de la parité

Sauf pour le premier d'entre eux, ${\binom {0}{0}}=1$, tout coefficient binomial central est un entier pair.

Plusieurs preuves élémentaires existent. La plus simple, utilisant la « formule du pion » (${\dbinom {m}{n}}={\frac {m}{n}}{\dbinom {m-1}{n-1}}$), montre que ce coefficient est le double d'un entier « voisin » dans le triangle de Pascal :

${\dbinom {2n}{n}}=2{\dbinom {2n-1}{n-1}}$.

Un diviseur élémentaire

Le coefficient binomial central d'ordre n est divisible par n + 1, ce qui revient à dire que le nombre de Catalan $C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\dbinom {2n}{n}}$ est un entier.

Pour le prouver, le plus simple est — de même que pour les coefficients binomiaux — d'utiliser l'une des nombreuses interprétations combinatoires de C_n.

Il existe aussi des preuves algébriques. On peut par exemple remarquer que $C_{n}={\dbinom {2n}{n}}-{\dbinom {2n}{n-1}}$.

Cas où n est premier

Si p est un nombre premier, l'égalité ${\binom {2p}{p}}=2+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}^{2}$, montre que ${\dbinom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}.$

Moins élémentairement, avec le théorème de Wolstenholme, il résulte de ${\dbinom {2p}{p}}=2{\dbinom {2p-1}{p-1}}$ que si p est supérieur ou égal à 5, on a même${\dbinom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{3}}}.$

On conjecture que ${{2n} \choose {n}}\equiv 2{\pmod {n^{3}}}$ constitue une condition nécessaire et suffisante pour que $n\geqslant 5$ soit premier, car cette propriété est vraie jusqu'à $n=10^{9}$, mais cette conjecture n'est pas prouvée .

Plus grand exposant d'un facteur premier

Dans la décomposition en produit de facteurs premiers du coefficient binomial central d'ordre n, on note e la puissance du nombre premier p, c'est-à-dire que e est le plus grand exposant tel que p^e divise ${\dbinom {2n}{n}}$. Si $\lfloor x\rfloor$ désigne la partie entière du réel x, alors, en posant $k=\lfloor \log _{p}2n\rfloor$, on établit, en application de la formule de Legendre :

$e=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {2n}{p^{i}}}\right\rfloor -2\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor$

Par exemple, si $n=14$ et $p=5$, alors $k=2$ et $e=2$, de sorte que 5² divise le nombre ${\dbinom {28}{14}}=40~116~600$ mais 5³ ne le divise pas.

D'après le théorème de Kummer, on a aussi : $e={\dfrac {2s_{p}(n)-s_{p}(2n)}{p-1}}$ où $s_{p}(n)$ est la somme des chiffres de n en base p, ce qui est aussi égal au nombre de retenues lorsqu'on effectue l'addition $n+n$ en base p. Par exemple, si tous les chiffres de n en base p sont strictement inférieurs à $p/2$ ${\dbinom {2n}{n}}$ n'est pas multiple de p.

Dans le cas où $p=2$, le nombre e est donc le nombre de 1 dans l’écriture binaire de n . Pour tout n > 0, e vaut donc au moins 1 et l'on retrouve ainsi (voir supra) que ${\binom {2n}{n}}$ est pair, et on obtient qu'il est même multiple de 4 si n n'est pas une puissance de 2.

Particularité de la fin de la décomposition en produit de facteurs premiers

La décomposition en produit de facteurs premiers de ${\binom {2n}{n}}$ possède la particularité de se terminer par la liste des nombres premiers de $\left]n,2n\right]$ (liste non vide d'après le postulat de Bertrand), comme le montre l'exemple ${\binom {20}{10}}=2^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19$.

On montre en effet à partir de la formule de Legendre ci-dessus qu'un nombre premier p apparait dans la décomposition de ${\binom {2n}{n}}$ en produit de facteurs premiers avec l'exposant $e=1$ pour p dans $\left]n,2n\right]$, et avec l'exposant $e=0$ pour $p>2n$.

Le produit des nombres premiers de $\left]n,2n\right]$ : $P_{n}={\frac {(2n)\#}{n\#}}$ où $n\#$ désigne la primorielle de n est en particulier un diviseur de ${\binom {2n}{n}}$ et les diviseurs premiers de ${\binom {2n}{n}}/P_{n}$ sont tous inférieurs ou égaux à n.

Sur le site de l'OEIS, $(P_{n})$ est répertoriée comme suite A261130 de l'OEIS, et $\left({\binom {2n}{n}}/P_{n}\right)$ comme suite A263931 de l'OEIS.

En 1850, Tchebychev utilise cette propriété pour obtenir une évaluation de la distribution des nombres premiers.

Une conjecture due à Erdős

Les exemples vus précédemment montrent que si les nombres premiers supérieurs à n de la décomposition de ${\binom {2n}{n}}$ ont un exposant égal à 1, au moins l'un de ceux qui précèdent possède un exposant > 1. Si n n'est pas une puissance de 2, on a vu que ${\binom {2n}{n}}$ est multiple de $2^{2}$, mais le phénomène est général .

En 1975, Paul Erdős conjecture que, pour $n\geqslant 5$, le coefficient binomial central ${\dbinom {2n}{n}}$ est toujours divisible par le carré d'un nombre premier, c'est-à-dire qu'il n'est pas quadratfrei. Le résultat est établi pour n grand par András Sárközy dix ans plus tard. Il est totalement démontré par G. Velammal en 1995 et indépendamment par Andrew Granville et Olivier Ramaré en 1996.

La suite des plus grands exposants dans la décomposition en produit de facteurs premiers de ${\dbinom {2n}{n}}$ est répertoriée comme suite A263922 de l'OEIS.

Lien avec la fonction de compte des nombres premiers

Le coefficient binomial central vérifie la majoration ${\dbinom {2n}{n}}\leqslant (2n)^{\pi (2n)}$ où $\pi (x)$ est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux au réel x :

En effet, en utilisant la majoration $\lfloor 2y\rfloor -2\lfloor y\rfloor \leqslant 1$ valable pour tout réel y, la valuation $e_{p}$ de l'entier p dans ${\binom {2n}{n}}$ vérifie $e_{p}\leqslant \lfloor \log _{p}2n\rfloor$ d'après la formule de Legendre. Puisque $p^{\lfloor \log _{p}2n\rfloor }\leqslant 2n$

${\dbinom {2n}{n}}\leqslant \prod _{p\leqslant 2n}p^{\lfloor \log _{p}2n\rfloor }\leqslant \prod _{p\leqslant 2n}2n=(2n)^{\pi (2n)}$.

Tchebychev utilise cette propriété pour établir la minoration de gauche dans les inégalités suivantes

$\forall x\geqslant 2,{\frac {\ln {2}}{4}}{\frac {x}{\ln {x}}}\leqslant \pi (x)\leqslant 9\ln {2}{\frac {x}{\ln {x}}}$

En effet, de manière élémentaire : $2^{n}\leqslant {\dbinom {2n}{n}}$ donc $\pi (2n)\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {(2n)}}}$. Si à $x\geqslant 2$ on associe l'entier n tel que $n\leqslant {\frac {x}{2}}<n+1$ :

$\pi (x)\geqslant \pi (2n)\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {(2n)}}}\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {x}}}\geqslant {\frac {(2n+2)\ln {2}}{4\ln {x}}}>{\frac {\ln {2}}{4}}{\frac {x}{\ln {x}}}$.

Séries avec coefficient binomial central

Série génératrice

Notons $A_{n}={\dbinom {2n}{n}}$ et $G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}x^{n}$ la série génératrice associée. À l'aide de la relation de récurrence :

$(n+1)A_{n+1}=2(2n+1)A_{n}$,

on montre que $G$ est solution de l'équation différentielle linéaire : $(1-4x)G^{\prime }(x)=2G(x)$ ce qui permet d'obtenir l'expression (valable pour $|x|<1/4$) :

$\sum _{n=0}^{+\infty }{\dbinom {2n}{n}}x^{n}=G(x)={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}$.

Série génératrice de l'inverse

Elle se déduit facilement de la relation : $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2x)^{2n}}{\binom {2n}{n}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}+{\frac {x\arcsin x}{(1-x^{2})^{3/2}}}$.

Cette relation s'obtient par dérivation de la série génératrice des intégrales de Wallis d'ordre impair : $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4^{n}}{\binom {2n}{n}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}={\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Autres séries remarquables

Le coefficient binomial central apparaît de manière inattendue dans des égalités remarquables, ce qui explique l'intérêt qui lui est porté.

En 1985, Derrick Lehmer calcule, en fonction de deux suites de polynômes définies par récurrence sur l'entier $k\geqslant -2$, les séries de la forme

$S_{k}(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n^{k}(2x)^{2n}}{\dbinom {2n}{n}}}$

Par exemple (voir supra) : $S_{-1}(x)={\frac {2x\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ donc en divisant par $2x$ et en intégrant : $S_{-2}(x)=2(\arcsin x)^{2}$.

En 1730, dans son étude du problème de Bâle, Stirling avait utilisé l'accélération de convergence $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=3\,S_{-2}(1/2)=3\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}$ pour déterminer des valeurs approchées de la première somme (il ne disposait pas de l'égalité ci-dessus, dont on déduit que $S_{-2}(1/2)=\pi ^{2}/18$).

L'intérêt pour les sommes avec coefficient binomial central s'est accru après que Roger Apéry a utilisé l'égalité $\zeta (3)=-{\frac {5}{2}}S_{-3}(\mathrm {i} /2)$ où $\zeta$ désigne la fonction zêta de Riemann. Dans un théorème qui porte son nom, il en déduit que $\zeta (3)$ est irrationnel.

Lehmer montre que $S_{k}(1/{\sqrt {2}})=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n^{k}2^{n}}{\dbinom {2n}{n}}}=u_{k}\pi +v_{k}$ où $2u_{k}$ et $v_{k}$ sont des entiers, et remarque que $v_{k}/u_{k}$ est « une bonne approximation de $\pi$ » . La suite $(2u_{k-1})$ est la suite A014307 de l'OEIS et $(v_{k})$ la suite A180875 de l'OEIS ; le fait que $\lim v_{k}/u_{k}=\pi$ a été démontré en 2011 .

Lehmer s'intéresse plus généralement aux séries du type $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}{\binom {2n}{n}}{\text{ ou }}\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {a_{n}}{\dbinom {2n}{n}}}$, où les $a_{n}$ sont « des fonctions très simples de $n$ ». Par exemple, en divisant par $x$ l'égalité $\sum _{n=1}^{+\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}-1$ (voir supra) et en intégrant, il obtient :

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n}}=2\ln {\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}$.

En remplaçant $x$ par ${\sqrt {x}}$ dans la double expression ci-dessus de $S_{-1}(x)$ et en dérivant, on obtient :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}(2x)^{n-1}}{n{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\arcsin {\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}}}}$,

qui donne, pour $x=1/4$ :

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n{\binom {2n}{n}}}}=\pi {\frac {\sqrt {3}}{9}}$

Autres expressions du coefficient binomial central

Représentations intégrales

On trouve dans la littérature plusieurs expressions du coefficient binomial central à l'aide d'intégrales. Ainsi par exemple

${\dbinom {2n}{n}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}(2\sin x)^{2n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{4}{\sqrt {\frac {x}{4-x}}}x^{n-1}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{(1/4+x^{2})^{n+1}}}\,\mathrm {d} x$

La première expression est liée à l'intégrale de Wallis d'ordre pair : $W_{2n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n}x{\text{ d}}x={\frac {\pi }{2}}{\frac {\binom {2n}{n}}{4^{n}}}$.

Expressions binomiales

Le coefficient binomial central s'obtient comme résultat des sommes suivantes :

• $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}$
• $\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{n-k}{\binom {2n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}$
• $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {2n+1}{k}}={\binom {2n}{n}}$

La première relation — cas particulier de l'identité de Vandermonde — s'obtient par exemple en exprimant le coefficient de degré n de deux façons dans $(1+X)^{2n}=(1+X)^{n}(1+X)^{n}$.

La deuxième relation s'obtient en exprimant le coefficient de degré 2n de deux façons dans l'identité $(1-X^{2})^{2n}=(1-X)^{2n}(1+X)^{2n}$.

La troisième est le cas particulier $m=2n+1$ de l'égalité $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {m}{k}}=(-1)^{n}{\binom {m-1}{n}}$, que l'on peut démontrer par récurrence sur $n$ (à l'aide de la formule de Pascal), mais aussi combinatoirement.

Expressions approchées et comportement asymptotique

Comportement asymptotique

Connaissant un équivalent de la suite des intégrales de Wallis et leur lien avec les coefficients binomiaux centraux (voir supra), on obtient : ${\dbinom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}$.

Cet équivalent permet d'établir la formule de Stirling à partir de celle d'Abraham de Moivre.

Inversement, on peut utiliser la formule de Stirling pour produire un équivalent du coefficient binomial central.

A partir du développement asymptotique de $n$!, on obtient ${\binom {2n}{n}}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)\right)$.

Encadrement

L'encadrement issu du développement ci-dessus : ${\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}\right)\leqslant {\binom {2n}{n}}\leqslant {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}$ est valable pour tout $n\geqslant 1$.

On peut même améliorer la majoration en ${\binom {2n}{n}}\leqslant {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi (n+1/4)}}}$ pour tout $n\geqslant 1$.

Produit de deux coefficients binomiaux centraux

Le produit ${\binom {2n}{n}}{\binom {2m}{m}}$ est divisible par ${\binom {n+m}{n}}$. Leur quotient $T_{n,m}={\frac {(2n)!(2m)!}{n!m!(n+m)!}}$ est représenté par la suite A068555 de l'OEIS.

Cette propriété peut se démontrer par récurrence grâce à la relation $T_{n+1,m}=4T_{n,m}-T_{n,m+1}$ ou à l'aide de la formule de Legendre.

Définition alternative

Dans son encyclopédie CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (en), Eric W. Weisstein définit le coefficient binomial central d'ordre n comme étant le coefficient binomial ${\dbinom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}$. Il s'agit alors de la suite A001405 de l'OEIS.

Les termes de rang n pair selon cette définition correspondent aux coefficients définis au début de cet article.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Thomas Koshy, Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, 2009, 422 p. (ISBN 019533454X, lire en ligne), chap. 2 (« The Central Binomial Coefficient »). 
• (en) Derrick Lehmer, « Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient », The American Mathematical Monthly, vol. 92, n^o 7,‎ août-septembre 1985, p. 447-469 (DOI 10.2307/2322496). 
• Jean-Marie De Koninck et Armel Mercier, Introduction à la théorie des nombres, Modulo Éditeur, 1994, 254 p. (ISBN 2-89113-500-8), « Les inégalités de Tchebycheff ». 

Liens externes

• (en) « Central binomial coefficient », sur PlanetMath