Pente (mathématiques)

En mathématiques, la pente d'une droite, son coefficient angulaire ou encore son coefficient directeur, est un nombre qui permet de décrire à la fois le sens de l'inclinaison de la droite (si la droite monte quand on la parcourt de la gauche vers la droite, le nombre est positif, si la droite descend, le nombre est négatif) et la force de celle-ci (plus le nombre est grand en valeur absolue, plus la pente est forte).

La pente de la droite est $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan \theta$

En géométrie cartésienne, le coefficient directeur d'une droite, non parallèle au deuxième axe de coordonnées, désigne le coefficient $a$ de l'équation de la droite, $y=ax+b$. Cette quantité représente la variation de l'ordonnée $y$ lorsque l'abscisse $x$ augmente d'une unité. La pente d'une droite (non parallèle à l'axe $Oy$) correspond donc au rapport entre la variation de $y$ et la variation correspondante de $x$.

Dans un repère cartésien orthonormé, la pente correspond à la tangente de l'angle que fait la droite avec l'axe $Ox$. L'axe $Ox$ étant interprété comme un axe horizontal, la pente représente le rapport entre la distance verticale et la distance horizontale lorsqu'on suit le mouvement d'un point sur la droite. Cette pente peut être exprimée par un pourcentage : une pente de 20 % correspond par exemple à un coefficient directeur de 1/5.

Si une fonction réelle est dérivable en un point d'abscisse x₀, sa courbe représentative admet une tangente en ce point dont la pente est égale au nombre dérivé de la fonction en x₀.

Calcul du coefficient directeur d'une droite déterminée par deux de ses points

Pentes de droites parallèles et perpendiculaires

Exemple de droite passant par l'origine du repère cartésien orthonormé et définie par deux points A et B.

Dans un repère cartésien quelconque (non nécessairement orthogonal, ni normé) :

• si la droite n'est pas parallèle à l'axe $Oy$, et si l'on connaît deux points distincts A $(x_{a},y_{a})$ et B $(x_{b},y_{b})$, le coefficient directeur m de cette droite, sa pente, vaut :

  $m={y_{b}-y_{a} \over x_{b}-x_{a}}$ ;

• si la droite est parallèle à l'axe $Oy$, on dit parfois que sa pente est infinie, ou plus rigoureusement, que sa pente n'est pas définie.

Voir aussi

• Pente (topographie)
• Plan incliné
• Surface d'égale pente