Cohomologie cyclique

En mathématiques, la cohomologie cyclique d'une ℂ-algèbre $A$ (non nécessairement commutative), que l'on note $H C^{*} (A)$ , est la cohomologie du complexe $(C_{λ}^{n}, b)$ où

$C_{λ}^{n}$ est l'espace des formes $n + 1$ -linéaires $ϕ$ qui vérifient la condition de cyclicité :
$ϕ (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}) = (- 1)^{n} ϕ (a_{1}, \dots, a_{n}, a_{0})$
l'opérateur $b : C_{λ}^{n} \to C_{λ}^{n + 1}$ est l'opérateur de cobord de Hochschild qui est donné par :
$\begin{matrix} (b ϕ) (a^{0}, \dots, a^{n}, a^{n + 1}) = & \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} ϕ (a^{0}, \dots, a^{j} a^{j + 1}, \dots, a^{n + 1}) \\ + (- 1)^{n + 1} ϕ (a^{n + 1} a^{0}, \dots, a^{n}) . \end{matrix}$

Cas des petits degrés

Un 0-cocycle n'est donc rien d'autre qu'une trace. En effet, la condition de cyclicité est automatiquement vérifiée et une forme linéaire sur $A$ est un cocycle si et seulement si

(b ϕ) (a_{0}, a_{1}) = ϕ (a_{0} a_{1}) - ϕ (a_{1} a_{0}) = 0

En conséquence, la cohomologie de Hochschild et la cohomologie cyclique sont égales en degré 0.

Appariements

Les cocycles cycliques ont la propriété de s'apparier avec les éléments de K-théorie. Plus précisément, il existe une application qui, partant d'un cocycle cyclique et d'un élément de K-théorie de même parité, leur associe un nombre complexe. Cette application est

bien définie (le nombre complexe ne dépend que des classes en cohomologie cyclique et K-théorie, et non des représentants choisis)
linéaire en le cocycle
et additive en l'élément de K-théorie.

Enfin, cet appariement est donné par une formule tout à fait explicite et calculable.

Références

(en) Alain Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994
(en) Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Springer, coll. « Grund. der math. Wiss. » (n^o 301), 1998, 2^e éd. (1^re éd. 1992)

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