Cohomologie des faisceaux

La cohomologie d'un faisceau ${\mathcal {F}}$ est une cohomologie définie par les résolutions injectives de ${\mathcal {F}}$.

Définition

Les groupes de cohomologie $H^{k}(X,{\mathcal {F}})$ d'un faisceau ${\mathcal {F}}$ de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines :

$\dots \rightarrow \Gamma (X,I^{k-1})\rightarrow \Gamma (X,I^{k})\rightarrow \Gamma (X,I^{k+1})\rightarrow \dots$

où ${\mathcal {F}}\rightarrow I^{*}$ est une résolution injective du faisceau ${\mathcal {F}}$, et $\Gamma (X,{\mathcal {A}})$ désigne le groupe abélien des sections globales de ${\mathcal {A}}$. À unique isomorphisme canonique près, ces groupes ne dépendent pas de la résolution injective choisie.

• Le zéroième groupe $H^{0}(X,{\mathcal {F}})$ est canoniquement isomorphe à $\Gamma (X,{\mathcal {F}})$.
• ${\mathcal {F}}$ est dit acyclique si tous ses autres groupes de cohomologie sont triviaux.
• Tout morphisme ${\displaystyle \Phi$ :{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}} induit des homomorphismes de groupes abéliens canoniquement définis :

$\Phi _{*}:H^{k}(X,{\mathcal {A}})\rightarrow H^{k}(X,{\mathcal {B}})$