Conjugué

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.

Représentation géométrique (diagramme d'Argand) de z et de son conjugué z̅ dans le plan complexe. Le conjugué est obtenu par symétrie par l'axe des réels.

Définition

Le conjugué $a-b{\rm {i}}$ d'un nombre complexe $z=a+b{\rm {i}}$, où a et b sont nombres réels, est noté ${\bar {z}}$ ou $z^{*}$. Dans le plan, le point d'affixe ${\bar {z}}$ est le symétrique du point d'affixe $z\,$ par rapport à l'axe des abscisses. Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

${\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}$

Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un automorphisme du corps ℂ.

Propriétés

On prend $(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}$.

• ${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$
• ${\textstyle {\overline {zw}}={\bar {z}}\times {\bar {w}}}$
• ${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$ si w est non nul
• $\operatorname {Im} \left(z\right)=0$ si et seulement si ${\bar {z}}=z$
• $\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$
• $z{\overline {z}}=\left|z\right|^{2}$
• $z^{-1}={{\overline {z}} \over {\left|z\right|^{2}}}$ pour z non nul.

Quaternions

Le conjugué du quaternion $q=a+bi+cj+dk$ est $q^{*}=a-bi-cj-dk$.

Propriété

• $q\cdot q^{*}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\,$
• ${\frac {1}{q}}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\cdot q^{*}\,$
• On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

Algèbre linéaire

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leurs éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.