Composantes d'un vecteur

En algèbre linéaire, les composantes d'un vecteur d'un K-espace vectoriel, dans une base donnée, sont une représentation explicite de ce vecteur par une famille de scalaires. Lorsque l'espace est de dimension n sur le corps K, les composantes forment un élément de l'espace vectoriel Kⁿ.

Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres (n-uplets, matrices, vecteurs colonnes) qui peuvent être effectués explicitement.

Définition

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit $ℬ = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ une base de E.

Alors pour tout vecteur $v$ de E, il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à $v$ :

v = α_{1} b_{1} + α_{2} b_{2} + \dots + α_{n} b_{n},

c'est-à-dire que les scalaires $α_{i}$ où $i \in {1, \dots, n}$ sont déterminés de façon unique par $v$ et $ℬ$ .

Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de $v$ dans la base $ℬ$ ou relativement à la base $ℬ$ , sont par définition la famille $(α_{1}, \dots, α_{n})$ . Les composantes peuvent aussi être représentées en colonne sous forme d'une matrice :

(\begin{matrix} α_{1} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix})

.

La matrice est appelée matrice colonne — ou vecteur colonne — des composantes — ou des coordonnées — de $v$ dans la base $ℬ$ .

Cette matrice est parfois notée $M_{ℬ} (v)$ , $M a t_{ℬ} (v)$ ou encore $[v]_{ℬ}$ .

Pour $i \in {1, \dots, n}$ , le scalaire $α_{i}$ est appelé la $i$ -ème composante — ou $i$ -ème coordonnée — du vecteur $v$ dans la base $ℬ$ .

Application composantes

Le mécanisme précédent, qui à un vecteur $v$ de E qui fait correspondre ses composantes dans la base $ℬ$ , peut être décrit par l'application $φ_{ℬ}$ , définie par

\forall v \in E, φ_{ℬ} (v) = (α_{1}, \dots, α_{n}),

où $α_{1}, \dots, α_{n}$ appartiennent à $K$ et vérifient $v = α_{1} b_{1} + \dots + α_{n} b_{n} .$

Alors $φ_{ℬ}$ est une application linéaire de E dans Kⁿ.

C'est même un isomorphisme : sa réciproque $φ_{ℬ}^{- 1} : K^{n} \to E$ est définie par

\forall (α_{1}, \dots, α_{n}) \in K^{n}, φ_{ℬ}^{- 1} (α_{1}, \dots, α_{n}) = α_{1} b_{1} + \dots + α_{n} b_{n} .

Il est aussi possible de commencer par définir cette application $φ_{ℬ}^{- 1}$ , de constater que c'est un isomorphisme, puis de définir $φ_{ℬ}$ comme l'isomorphisme réciproque.

Exemples

Exemple 1

Soit $ℝ_{3} [x]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Cet espace est engendré par

{1, x, x^{2}, x^{3}}

et la famille $ℬ = (1, x, x^{2}, x^{3})$ est une base de cet espace.

La matrice colonne des composantes, dans cette base, du polynôme

p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3},

s'écrit $(\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) .$

Relativement à cette base, l'opérateur de dérivation $D$ , qui à $p$ associe $D p = p^{'}$ , est représenté par la matrice

M a t_{ℬ} (D) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

En utilisant cette représentation, il est aisé de déterminer les propriétés de l'opérateur, comme l'inversibilité, s'il est hermitien ou anti-hermitien ou rien du tout, son spectre / ses valeurs propres, etc.

Exemple 2

Les matrices de Pauli représentent l'opérateur spin lorsque les vecteurs propres correspondant à l'état de spin sont transformés en coordonnées.

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Coordinate vector » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :
- Britannica

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