Congruences de Kummer

En mathématiques, les congruences de Kummer sont des congruences impliquant les nombres de Bernoulli, trouvées par Ernst Eduard Kummer en 1851 .

Kubota & Leopoldt (1964) ont utilisé les congruences de Kummer afin de définir la fonction zêta p-adique.

Enoncé

La forme la plus simple de la congruence de Kummer est la suivante :

${\frac {B_{h}}{h}}\equiv {\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p}}{\text{ si }}h\equiv k{\pmod {p-1}}$

où p est un nombre premier, h et k sont des entiers positifs pairs n'étant pas divisible par p−1 le nombre B_h le h-ième nombre de Bernoulli.

Plus généralement, si h et k sont des entiers positifs pairs non divisible par p − 1, alors

$(1-p^{h-1}){\frac {B_{h}}{h}}\equiv (1-p^{k-1}){\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p^{a+1}}}$

dès que

$h\equiv k{\pmod {\varphi (p^{a+1})}}$

où φ(p^a+1) est l'indicatrice d'Euler, évaluée en p^a+1 avec a un entier positif. Si a = 0, on retrouve la première expression. Les deux côtés de l'égalité peuvent être interprétés comme des valeurs de la fonction zêta p-adique, les congruences de Kummer impliquant que la fonction zêta p-adique est continue sur les entiers négatifs, et peut donc être prolongée par continuité à tous les entiers p-adiques.

Article connexe

• Théorème de von Staudt–Clausen, une autre congruence impliquant les nombres de Bernoulli.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kummer's congruence » (voir la liste des auteurs).
• Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics, vol. 58 », 1984 (ISBN 978-0-387-96017-3, MR 754003)
• Tomio Kubota et Heinrich-Wolfgang Leopoldt, « Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 214/215,‎ 1964, p. 328–339 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1964.214-215.328, MR 0163900, lire en ligne)
• Ernst Eduard Kummer, « Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoëfficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen », Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, vol. 41,‎ 1851, p. 368–372 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1851.41.368, lire en ligne)