Coniques de Mandart
En géométrie, les coniques de Mandart sont des coniques du triangle, nommées d'après H. Mandart, qui les a étudiées dans deux articles publiés à la fin du XIXe siècle[1],[2],[3].
Ellipse de Mandart
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L'ellipse inscrite de Mandart d'un triangle est l'ellipse située à l'intérieur du triangle, tangente aux points de contact des cercles exinscrits avec les côtés. C'est donc également l'ellipse circonscrite de Steiner du triangle de Nagel du triangle de référence[4].
Propriétés
modifierLe centre de l'ellipse de Mandart est le mittenpunkt du triangle. Son point de Brianchon (le point d'intersection des droites reliant les sommets du triangle aux points de tangence) est donc le point de Nagel du triangle[1].
Ses axes sont les droites parallèles aux asymptotes de l'hyperbole de Feuerbach passant par le mittenpunkt.
Comme conique inscrite, l'ellipse de Mandart est décrite par les paramètres en coordonnées homogènes
pour un triangle de côtés a, b, c.
Cercle de Mandart
modifierLe cercle de Mandart est le cercle circonscrit au triangle de Nagel. Le cercle et l'ellipse de Mandart se croisent donc aux trois sommets de ce triangle, mais aussi au point de Feuerbach du triangle.
C'est donc le cercle de Joachimsthal du point de Bevan par rapport à l'ellipse de Mandart.
Son centre est le point de nombre de Kimberling X1158 et son rayon est égal à :
où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle de référence et s son demi-périmètre.
Triangles de Mandart
modifierOn considère un triangle ABC et son triangle médian A'B'C'. Pour un réel t, on place sur la médiatrice de [BC] le point At' tel que A'PA = t et tel que si t > 0, le point est dans le demi-plan ne contenant pas A ; on définit de façon similaire les points Bt' et Ct'. Alors le triangle At'Bt'Ct' est appelé triangle de t-Mandart[1].
Le locus des centres des cercles circonscrits des triangles de t-Mandart est une hyperbole équilatère.
Les faisceaux de droites (At'Bt'), (Bt'Ct'), (Ct'At'), ont pour enveloppe trois paraboles aux propriétés multiples :
- leurs axes de symétrie se croisent au centre du cercle circonscrit de ABC
- leurs foyers sont sur le cercle ayant pour diamètre le segment joignant les centres des cercles circonscrit et inscrit de ABC ;
- leurs directrices se croisent au centre du cercle de Spieker de ABC.
Hyperbole de Mandart
modifierPour tout t, le triangle de t-Mandart est orthologique au triangle de Nagel[3]. Le locus des points de concurrence est une hyperbole équilatère, circonscrite au triangle de Nagel. Gibert est le premier à la nommer hyperbole de Mandart.
Ses asymptotes sont parallèles à celles de l'hyperbole de Feuerbach.
Parabole de Mandart
modifierPour tout t, le triangle de t-Mandart et le triangle médian sont en homologie. On appelle parabole de Mandart l'enveloppe des axes de ces homologies quand t varie.
Le foyer de cette parabole est le centre de nombre de Kimberling X134 et son axe est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et le centre de Spieker du triangle de référence.
Voir aussi
modifierNotes
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mandart inellipse » (voir la liste des auteurs).
- 1 2 3 (en) Bernard Gibert, « Generalized Mandart conics », Forum Geometricorum, vol. 4, , p. 177–198 (lire en ligne [archive] [PDF]).
- ↑ H. Mandart, « Sur l’hyperbole de Feuerbach », Mathesis, , p. 81–89.
- 1 2 H. Mandart, « Sur une ellipse associée au triangle », Mathesis, , p. 241–245 (lire en ligne).
- ↑ (en) Imre Juhász, « Control point based representation of inellipses of triangles », Annales Mathematicae et Informaticae, vol. 40, , p. 37–46 (MR 3005114, lire en ligne).
Liens externes
modifier- (en) Eric W. Weisstein, « Mandart Inellipse », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Mandart Circle », sur MathWorld
