Conjecture de Firoozbakht

En théorie des nombres, la conjecture de Firoozbakht^[1]^,^[2]^,^[3]^,^[4] est une conjecture relative à la distribution des nombres premiers, proposée en 1982 par la mathématicienne iranienne Farideh Firoozbakht, de l'université d'Ispahan^[5].

La conjecture énonce que la suite $p_{n}^{1/n}$ (où $p_{n}$ est le n-ième nombre premier) est strictement décroissante, soit encore :

p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}{\text{ pour tout }}n\geq 1.

La conjecture implique que

p_{n+1}-p_{n}<(\ln p_{n})^{2}-\ln p_{n}-1{\text{ pour tout }}n>9.

^[6]

La conjecture de Firoozbakht est vérifiée pour tout

p_{n}<4\times 10^{18}.

^[7]

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Firoozbakht's conjecture » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, Springer, 2004, 2^e éd., 356 p. (ISBN 978-0-387-20169-6, lire en ligne), p. 185.
↑ (en) Carlos Rivera, « Conjecture 30. The Firoozbakht Conjecture », sur primepuzzles.net.
↑ (en) Zhi-Wei Sun, « Conjectures involving arithmetical sequences », Proc. 6th China-Japan Seminar, Number Theory: Arithmetic in Shangri-La, Shanghai,‎ 15-17 août 2011, p. 244-258 (lire en ligne).
↑ (en) Zhi-Wei Sun, « On a sequence involving sums of primes », Bull. Aust. Math. Soc., vol. 88,‎ 2013, p. 197-205 (lire en ligne).
↑ (en) Jan Feliksiak, The Symphony of Primes, Distribution of Primes and the Riemann's Hypothesis, Xlibris, 2013, 132 p. (ISBN 978-1-4797-6560-7, lire en ligne), p. 35-37.
↑ (en) Alexei Kourbatov, « Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht's conjecture », J. Integer Sequences, Article 15.11.2, vol. 18,‎ 2015 (lire en ligne).
↑ (en) Alexei Kourbatov, « Verification of the Firoozbakht conjecture for primes up to four quintillion », International Mathematical Forum, vol. 10, n^o 6,‎ 2015 (DOI 10.12988/imf.2015.5322, lire en ligne).

(en) Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Boston/Basel/Stuttgart, Birkhauser, 1985, 2^e éd., 464 p. (ISBN 3-7643-3291-3), p. ?^{[réf. incomplète]}