Théorème de Baker
Le théorème de Baker résout la conjecture de Gelfond. Publié par Alan Baker en 1966 et 1967[1], c'est un résultat de transcendance sur les logarithmes de nombres algébriques, qui généralise à la fois le théorème d'Hermite-Lindemann (1882) et le théorème de Gelfond-Schneider (1934).
Ce théorème a été adapté au cas des nombres p-adiques par Armand Brumer[2] ; le théorème de Brumer permet de démontrer la conjecture de Leopoldt dans le cas d'un corps de nombres abélien, suivant un article d'Ax[3].
Énoncé
modifierOn note L l'ensemble des « logarithmes de nombres algébriques (non nuls) », c'est-à-dire des nombres complexes dont l'exponentielle est un nombre algébrique[4], et ℚ le corps des nombres algébriques (la clôture algébrique du corps ℚ des rationnels).
Si n éléments λ1, …, λn de L sont ℚ-linéairement indépendants, alors les n + 1 éléments 1, λ1, …, λn sont ℚ-linéairement indépendants[5].
Par exemple, le théorème de Baker permet de montrer la transcendance de nombres comme x log(2) + y log(3) + z log(5) pour tous nombres algébriques x, y, z non tous nuls.
Extensions
modifierLe théorème de Baker garantit l'indépendance linéaire sur ℚ de certains « logarithmes de nombres algébriques », ce qui est plus faible que leur indépendance algébrique. La généralisation suivante n'est toujours pas démontrée :
Conjecture d'indépendance algébrique des logarithmes[6],[7] — Si n éléments de L sont ℚ-linéairement indépendants, alors ils sont algébriquement indépendants.
C'est un cas particulier de la conjecture de Schanuel, mais « on ne sait même pas encore s'il existe deux nombres algébriquement indépendants parmi les logarithmes de nombres algébriques[7] ! ». En effet, le théorème de Baker exclut toute relation linéaire non triviale entre les logarithmes de nombres algébriques, mais le cas suivant le plus simple, qui est d'exclure toute relation quadratique homogène, a pour cas particulier la conjecture des quatre exponentielles[8], qui reste ouverte.
De même, on ne sait pas étendre le théorème de Brumer en une preuve d'indépendance algébrique (dans le cadre p-adique, donc en utilisant la fonction logarithme p-adique). Cela prouverait la conjecture de Leopoldt sur les rangs p-adiques des unités d'un corps de nombres quelconque.
Références
modifier- (en) A. Baker, « Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. I, II, III », Mathematika, 13, 1966, p. 204-216 ; ibid., 14, 1967, p. 102-107 ; ibid. 14, 1967, p. 220-228, lien Math Reviews.
- (en) A. Brumer, « On the units of algebraic number fields », Mathematika, vol. 14, no 2, , p. 121-124 (DOI 10.1112/S0025579300003703).
- (en) James Ax, « On the units of an algebraic number field », Illinois J. Math., vol. 9, , p. 584–589 (lire en ligne).
- (en) Michel Waldschmidt, Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 326), (ISBN 978-3-540-66785-8, lire en ligne), p. 2.
- Waldschmidt 2000, p. 3, Theorem 1.6.
- Notes historiques de (en) Serge Lang, Introduction to Transcendental Numbers, Addison-Wesley, , chap. III.
- Waldschmidt 2000, p. 16, Conjecture 1.15.
- Waldschmidt 2000, p. 24, Exercise 1.8.
