Conjecture de Segal

La conjecture de Segal sur l'anneau de Burnside, ou plus simplement la conjecture de Segal, est un théorème en théorie de l'homotopie, une branche des mathématiques. Il établit un lien entre l'anneau de Burnside d'un groupe fini G et la cohomotopie stable de l'espace classifiant BG . Formulée au milieu des années 1970 par Graeme Segal, la conjecture a été démontrée en 1984 par Gunnar Carlsson. Bien qu'elle soit désormais un théorème, on l'appelle encore couramment la conjecture de Segal.

Énoncé du théorème

La conjecture de Segal admet plusieurs formulations différentes, dont certaines ne sont pas équivalentes. Une des formulations faibles est: pour tout groupe fini G, il existe un isomorphisme:

$\varprojlim \pi _{S}^{0}\left(BG_{+}^{(k)}\right)\to {\widehat {A}}(G).$

Ici, lim désigne la limite inverse, π_S* désigne l'anneau de cohomotopie stable, B désigne l'espace classifiant, l'exposant k désigne le k - squelette, et l'indice + désigne l'ajout d'un point de base disjoint du reste. À droite, le chapeau désigne la completion de l'anneau de Burnside par rapport à son idéal d'augmentation (en anglais : augmentation ideal).

Motivation et interprétation

Le contenu du théorème devient plus clair s'il est vu dans son contexte historique. Dans la théorie des représentations des groupes finis, on peut former un objet $R[G]$ appelé l'anneau de représentation de $G$ d'une manière tout à fait analogue à la construction de l'anneau de Burnside décrite ci-dessus. La cohomotopie stable est alors en un sens l'analogue naturel de la K-théorie complexe, noté $KU^{*}$. Segal a été inspiré pour formuler sa conjecture après que Michael Atiyah a prouvé l'existence d'un isomorphisme.

$KU^{0}(BG)\to {\widehat {R}}[G]$

qui est un cas particulier du théorème de complétion d'Atiyah-Segal.

Bibliographie

• J. Frank Adams « Graeme Segal's Burnside ring conjecture » (1980) (MR 585670).
  — « (ibid.) », dans Topology Symposium, Siegen 1979, vol. 788, Berlin, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics », p. 378–395.
• Gunnar Carlsson, « Equivariant Stable Homotopy and Segal's Burnside Ring Conjecture », Annals of Mathematics, vol. 120, n^o 2,‎ 1984, p. 189 à 224 (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/2006940, JSTOR 2006940, MR 0763905, lire en ligne, consulté le 3 juin 2026)