Conjecture jacobienne

En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, la conjecture jacobienne (ou conjecture du jacobien) est une conjecture réfutée concernant les polynômes à plusieurs variables. Elle énonce que si une fonction polynomiale d'un espace de dimension $N$ dans lui-même a un jacobien constant et non nul, alors cette fonction possède une fonction inverse polynomiale. Elle fut proposée en 1939 par Ott-Heinrich Keller (en), et Shreeram Abhyankar lui donna par la suite son nom actuel, la popularisant comme un exemple d'une question de géométrie algébrique ne demandant que peu de connaissances pour être énoncée.

La conjecture jacobienne est également célèbre pour le grand nombre de tentatives de preuves qu'elle a suscitées, et qui contenaient des erreurs subtiles^[1]^,^[2]. C'est le seizième problème de Smale.

Le 19 juillet 2026, Levent Alpöge, mathématicien et employé d'Anthropic, présente un contre-exemple explicite dans le cas $N=3$ , découvert à l'aide du grand modèle de langue Claude Fable 5^[3]^,^[4] d'Anthropic, qui infirme la conjecture pour $N\geq 3$ . Pour le cas particulier $N=2$ , la conjecture demeure un problème non résolu à la date de juillet 2026, tandis que pour $N=1$ , elle peut être démontrée de manière triviale^[5].

Formulation

Pour un entier N > 1, soient N polynômes f_i (pour 1 ≤ i ≤ N) dans les variables X₁, …, X_N, et dont les coefficients appartiennent à un corps algébriquement clos k (on peut en fait supposer^{[pourquoi ?]} que k est le corps des nombres complexes). On définit alors la fonction vectorielle F: k^N → k^N par

F(X_{1},\dots ,X_{N})=(f_{1}(X_{1},\dots ,X_{N}),\dots ,f_{N}(X_{1},\dots ,X_{N}))

. Le jacobien J de F est par définition le déterminant de la matrice jacobienne N × N formée des dérivées partielles des F_i par rapport aux X_j :

J=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{N}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{N}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{N}}{\partial X_{N}}}\end{matrix}}\right|,

J est lui-même une fonction des N variables X₁, … , X_N ; et même une fonction polynomiale.

La condition J ≠ 0 assure (pour des fonctions régulières, et donc en particulier pour des polynômes) l'existence d'un inverse local pour F (c'est le théorème des fonctions implicites) en chaque point où elle est vérifiée. Comme k est algébriquement clos, et que J est un polynôme, J s'annule pour certaines valeurs des X₁, …, X_N, sauf si J est constante. On en déduit facilement que :

Si F possède une fonction inverse (globale), c'est-à-dire s'il existe G : k^N → k^N telle que

G\circ F=F\circ G=id_{k^{N}}

(identité de k^N), alors J est une constante non nulle.

La conjecture jacobienne affirme que sur tout corps de caractéristique 0, la réciproque (un peu renforcée) suivante est vraie :

Si J est une constante non nulle et si k est un corps de caractéristique 0, alors F admet un inverse G : k^N → k^N, et G est régulière, c'est-à-dire que ses composantes sont données par des polynômes.

Contre-exemple

Le contre-exemple cité en introduction est l'application polynomiale $F:\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ définie par

{\begin{aligned}F(x,y,z)={}{\bigl (}~\!&z(1+xy)^{3}+y^{2}(1+xy)(4+3xy),\\&y+3x(1+xy)^{2}z+3xy^{2}(4+3xy),\\&2x-3x^{2}y-x^{3}z~\!{\bigr )}.\end{aligned}}

Le déterminant jacobien de cette fonction est la constante -2. Cependant, l'application n'est pas globalement injective (et n'est donc pas inversible), car elle associe la même image à plusieurs points distincts. Par exemple, l'évaluation de l'application aux points $(0,0,{-{\tfrac {1}{4}}})$ et $(1,-{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {13}{2}})$ donne $({-{\tfrac {1}{4}}},0,0)$ dans les deux cas.

Compte tenu de la définition de $F$ ci-dessus, il s'ensuit que pour tout entier $N\geq 4$ , l'application polynomiale $\mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} ^{N}$ donnée par

(x,y,z,t_{1},\dots ,t_{N-3})\mapsto (F(x,y,z),t_{1},\dots ,t_{N-3})

fournit alors un contre-exemple à $N$ variables.

Résultats

En 1980, Wang^[6] démontra la conjecture jacobienne pour les polynômes de degré 2, et en 1982, Bass, Connell et Wright^[7] démontrèrent que le cas général est conséquence du cas particulier des polynômes de degré 3. La conjecture a été vérifiée par Moh^[8] pour les polynômes à deux variables de degré au plus 100.

La conjecture jacobienne est équivalente à la conjecture de Dixmier^[9].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobian conjecture » (voir la liste des auteurs).

↑ Arno van den Essen, Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), vol. 2, Paris, Soc. Math. France, coll. « Sémin. Congr. », 1997, 55–81 p. (MR 1601194), « Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture »
↑ (en) Hyman Bass, Edwin H. Connell et David Wright, « The Jacobian conjecture: Reduction of degree and formal expansion of the inverse », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 7, n^o 2,‎ 1982, p. 287–330 (ISSN 0273-0979, DOI 10.1090/S0273-0979-1982-15032-7 , lire en ligne) (pdf)
↑ __alpoge__, « hello there the jacobian conjecture is false », sur XParamètre date manquant
↑ Matthew Sparkes, « AI’s solution to 87-year-old riddle takes mathematicians by surprise », New Scientist,‎ 20 juillet 2026 (lire en ligne [archive du 21 juillet 2026])
↑ (en) « Bulletin of the American Mathematical Society », sur pubs.ams.org (DOI 10.1090/S0273-0979-1982-15032-7, consulté le 30 juillet 2026), p. 2
↑ (en) Stuart Sui-Sheng Wang, « A jacobian criterion for separability », J. Algebra, vol. 65,‎ 1980, p. 453-494.
↑ (en) Hyman Bass, Edwin H. Connell et David Wright, « The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse », Bull. Amer. Math. Soc. (New Series), vol. 7, n^o 2,‎ 1982, p. 287-330 (OCLC 670617598, DOI 10.1090/S0273-0979-1982-15032-7), lien Math Reviews.
↑ (en) Tzuong-Tsieng Moh, « On the Jacobian conjecture and the configurations of roots », J. reine angew. Math., vol. 340,‎ 1983, p. 140-212 (lire en ligne).
↑ (en) Pascal Kossivi Adjamagbo et Arno van den Essen, « A proof of the equivalence of the Dixmier, Jacobian and Poisson conjectures », Acta Math. Vietnam, vol. 32, n^os 2-3,‎ 2007, p. 205-214.

Voir aussi

Article connexe

Problèmes de Smale

Bibliographie

(en) Alexei Belov-Kanel et Maxim Kontsevich, « The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture », Moscow Mathematical Journal, vol. 7, n^o 2,‎ 2007, p. 209-218 (Bibcode 2005math.....12171B, MR 2337879, arXiv math/0512171).
(en) A. van den Essen, Jacobian conjecture, Springer
(de) Ott-Heinrich Keller, « Ganze Cremona-Transformationen », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 47, n^o 1,‎ 1939, p. 299-306 (ISSN 0026-9255, DOI 10.1007/BF01695502)
(en) A. van den Essen, Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture

Lien externe

(en) Page de T. T. Moh sur la conjecture

Portail de l’algèbre

[vdE1997-1] Arno van den Essen, Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), vol. 2, Paris, Soc. Math. France, coll. « Sémin. Congr. », 1997, 55–81 p. (MR 1601194), « Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture »

[2] (en) Hyman Bass, Edwin H. Connell et David Wright, « The Jacobian conjecture: Reduction of degree and formal expansion of the inverse », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 7, n^o 2,‎ 1982, p. 287–330 (ISSN 0273-0979, DOI 10.1090/S0273-0979-1982-15032-7 , lire en ligne) (pdf)

[anthtweet-3] __alpoge__, « hello there the jacobian conjecture is false », sur XParamètre date manquant

[:1-4] Matthew Sparkes, « AI’s solution to 87-year-old riddle takes mathematicians by surprise », New Scientist,‎ 20 juillet 2026 (lire en ligne [archive du 21 juillet 2026])

[5] (en) « Bulletin of the American Mathematical Society », sur pubs.ams.org (DOI 10.1090/S0273-0979-1982-15032-7, consulté le 30 juillet 2026), p. 2

[6] (en) Stuart Sui-Sheng Wang, « A jacobian criterion for separability », J. Algebra, vol. 65,‎ 1980, p. 453-494.

[7] (en) Hyman Bass, Edwin H. Connell et David Wright, « The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse », Bull. Amer. Math. Soc. (New Series), vol. 7, n^o 2,‎ 1982, p. 287-330 (OCLC 670617598, DOI 10.1090/S0273-0979-1982-15032-7), lien Math Reviews.

[8] (en) Tzuong-Tsieng Moh, « On the Jacobian conjecture and the configurations of roots », J. reine angew. Math., vol. 340,‎ 1983, p. 140-212 (lire en ligne).

[9] (en) Pascal Kossivi Adjamagbo et Arno van den Essen, « A proof of the equivalence of the Dixmier, Jacobian and Poisson conjectures », Acta Math. Vietnam, vol. 32, n^os 2-3,‎ 2007, p. 205-214.

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