Constante de De Bruijn-Newman

La constante de De Bruijn-Newman, notée Λ, est une constante mathématique définie par les zéros d'une certaine fonction H(λ,z), où λ est un paramètre réel et z est une variable complexe : H(λ,z) n'a que des zéros réels si et seulement si λ ≥ Λ.

Depuis 2018, il est démontré que 0 ≤ Λ ≤ 0,2.

La constante est intimement reliée à l'hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction zêta de Riemann. En bref, l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture suivante : Λ ≤ 0. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors Λ = 0.

Expressions analytiques particulières de H

La fonction H(λ,z) est par définition la transformée de Fourier de exp(λx²)Φ(x) :

H(\lambda ,z)=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\ du

où $\Phi$ est la fonction à décroissance rapide définie par

\Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})\exp(-\pi n^{2}e^{4u})

H(0,x) = ξ(1/2+ix), où ξ désigne la fonction xi de Riemann

\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)

H a la représentation de Wiener-Hopf :
- pour λ ≥ 0, $\xi (1/2+{\rm {i}}z)=A{\frac {\sqrt {\pi }}{\lambda }}\int _{-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{-(x-z)^{2}/(4\lambda )}H(\lambda ,x){\rm {d}}x$
- pour λ < 0,

H(z,\lambda )={\frac {B{\sqrt {\pi }}}{\lambda }}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left({\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}\right)\xi (1/2+ix)\,dx,

avec

{\textstyle z\in \mathbb {C} }

et

{\textstyle \lambda \in \mathbb {R} }

où A et B sont des constantes réelles.

Recherche et approximation de Λ

Majorant

Date	Publication	Majorant de Λ	Auteur(s)	Réf.
juill. 1948	sept. 1950	Λ ≤ 1/2	de Bruijn	^[1]
déc. 2008	avr. 2009	Λ < 1/2	Ki, Kim et Lee	^[2]
avr. 2019	août 2019	Λ ≤ 0,22	15^e projet Polymath	^[3]
avr. 2020	janvier 2021	Λ ≤ 0,2	Platt et Trudgian (en)	^[4]

Minorant

Charles M. Newman (en) a conjecturé en 1976 que Λ ≥ 0^[5].

D'imposants calculs sur Λ ont été faits depuis 1987 et sont encore menés à l'heure actuelle :

Date	Publication	Minorant de Λ	Auteur(s)	Réf.
juin 1987	juin 1988	Λ > –50	Csordas, Norfolk et Varga	^[6]
août 1989	janv. 1991	Λ > –5	te Riele	^[7]
mars 1990	1992	Λ > –0,385	Norfolk, Ruttan et Varga	^[8]
mai 1991	juin 1991	Λ > −0,0991	Csordas, Ruttan et Varga	^[9]
nov. 1992	mars 1994	Λ > −4,379 × 10⁻⁶	Csordas, Smith et Varga	^[10]
nov. 1993	déc. 1993	Λ > −5,895 × 10⁻⁹	Odlyzko, Smith et Varga	^[11]
fév. 2000	sept. 2000	Λ > −2,7 × 10⁻⁹	Odlyzko	^[12]
mai 2009	mars 2011	Λ > −1,145 41 × 10⁻¹¹	Saouter, Gourdon et Demichel	^[13]
janv. 2018	avr. 2020	Λ ≥ 0	Rodgers et Tao	^[14]^,^[15]

La démonstration en 2018 que Λ ≥ 0 confirme donc la conjecture de Newman.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « De Bruijn–Newman constant » (voir la liste des auteurs).

↑ de Bruijn 1950.
↑ (en) Haseo Ki, Young-One Kim et Jungseob Lee, « On the de Bruijn–Newman constant », Advances in Mathematics, vol. 222, n^o 1,‎ septembre 2009, p. 281–306 (DOI 10.1016/j.aim.2009.04.003, MR 2531375, zbMATH 1175.30023, S2CID 16973944, lire en ligne [PDF]).
↑ (en) D.H.J. Polymath, « Effective approximation of heat flow evolution of the Riemann ξ function, and a new upper bound for the de Bruijn–Newman constant », Research in the Mathematical Sciences, vol. 6, n^o 3,‎ septembre 2019, article n^o 31 (DOI 10.1007/s40687-019-0193-1, Bibcode 2019arXiv190412438P, zbMATH 1423.30022, arXiv 1904.12438, S2CID 139107960).
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↑ Newman 1976.
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↑ (en) Terence Tao, « The De Bruijn-Newman constant is non-negative », sur terrytao.wordpress.com, blog de Terence Tao, 19 janvier 2018.
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Voir aussi

Article connexe

Table de constantes mathématiques

Bibliographie

(en) Steven R. Finch, chap. 2.32 « De Bruijn–Newman Constant », dans Mathematical Constants, Cambridge et New York, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 94), 2003, XIX-602 p. (ISBN 0-521-81805-2), p. 203–205 [lire en ligne].
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Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « de Bruijn–Newman Constant », sur MathWorld

Portail de l'analyse

[de_Bruijn1950-1] Bruijn 1950.

[2] (en) Haseo Ki, Young-One Kim et Jungseob Lee, « On the de Bruijn–Newman constant », Advances in Mathematics, vol. 222, n^o 1,‎ septembre 2009, p. 281–306 (DOI 10.1016/j.aim.2009.04.003, MR 2531375, zbMATH 1175.30023, S2CID 16973944, lire en ligne [PDF]).

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[8] (en) Timothy S. Norfolk, Arden Ruttan et Richard S. Varga, « A Lower Bound for the de Bruijn-Newman Constant Λ. II », dans Andrey Aleksandrovich Gonchar (en) (dir.) et Edward B. Saff (en) (dir.), Progress in Approximation Theory : An International Perspective (actes de la conférence internationale à Tampa, Floride, 19 - 22 mars 1990), New York, Springer, coll. « Springer Series in Computational Mathematics » (n^o 19),‎ 1992, XVIII-451 p. (ISBN 978-1-4612-7737-8 et 978-1-4612-2966-7, DOI 10.1007/978-1-4612-2966-7_17, zbMATH 0787.30016, lire en ligne ), p. 403–418.

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[10] (en) George Csordas, Wayne Smith et Richard S. Varga, « Lehmer pairs of zeros, the de Bruijn-Newman constant Λ, and the Riemann Hypothesis », Constructive Approximation (en), vol. 10, n^o 1,‎ mars 1994, p. 107–129 (DOI 10.1007/BF01205170, zbMATH 0792.30020, S2CID 122664556, lire en ligne [PDF]).

[11] (en) George Csordas, Andrew Odlyzko, Wayne Smith et Richard S. Varga, « A new Lehmer pair of zeros and a new lower bound for the De Bruijn-Newman constant Λ », Electronic Transactions on Numerical Analysis, vol. 1,‎ décembre 1993, p. 104–111 (zbMATH 0807.11059, S2CID 12111746, lire en ligne [PDF]).

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[14] (en) Terence Tao, « The De Bruijn-Newman constant is non-negative », sur terrytao.wordpress.com, blog de Terence Tao, 19 janvier 2018.

[15] (en) Brad Rodgers et Terence Tao, « The De Bruijn–Newman constant is non-negative », Forum of Mathematics, Pi, vol. 8,‎ 6 avril 2020, article n^o e6 (DOI 10.1017/fmp.2020.6, Bibcode 2018arXiv180105914R, zbMATH 1454.11158, arXiv 1801.05914, S2CID 119140820).

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