Constante de Komornik-Loreti
Dans la théorie mathématique des systèmes numériques positionnels non standard, la constante de Komornik-Loreti est une constante mathématique qui représente la plus petite base pour laquelle le nombre 1 a une représentation unique, appelée son -développement. La constante porte le nom des mathématiciens Vilmos Komornik et Paola Loreti, qui l'ont définie en 1998[1].
Définition
modifierÉtant donné un nombre réel > 1, la série
est appelée une -expansion, ou -expansion, du nombre réel positif x si, pour tout , , où est la partie entière de et peut ne pas être entier. N'importe quel nombre réel tel que possède une telle expansion, comme on peut le prouver en utilisant un algorithme glouton.
Le cas particulier où , , et ou pour , est parfois appelé un -développement de 1. Dans le cas où pour , la seule valeur possible de est = 2. Cependant, pour presque tout , il existe un nombre infini de -développements de 1. De manière encore plus surprenante, il existe des pour lesquels il n'existe qu'un seul -développement. De plus, il existe un plus petit nombre , connu sous le nom de constante de Komornik-Loreti, pour lequel il existe un unique -développement de 1[2].
Valeur
modifierLa constante de Komornik-Loreti est la quantité telle que
où est la suite de Prouhet-Thue-Morse, c'est-à-dire que est la parité du nombre de 1 dans la représentation binaire de . Elle a pour valeur
La suite de ses décimales est donnée par la suite A055060 de l'OEIS.
La constante est aussi la seule racine réelle positive de
Cette constante est un nombre transcendant.
Voir également
modifierNotes et références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Komornik–Loreti constant » (voir la liste des auteurs).
- (en) Vilmos Komornik et Paola Loreti, « Unique developments in non-integer bases », The American Mathematical Monthly, vol. 105, no 7, , p. 636-639 (DOI 10.2307/2589246, lire en ligne, consulté le ).
- (en) Eric W. Weissman, « q-Expansion », sur MathWorld.
- (en) Eric W. Weissman, « Komornik–Loreti Constant », sur MathWorld.