Constante gravitationnelle de Gauss

La constante gravitationnelle de Gauss est un paramètre utilisé en astronomie pour les calculs de mécanique céleste effectués en unités du système astronomique (jour, masse solaire, unité astronomique) plutôt qu'en celles du Système international d'unités (seconde, kilogramme, mètre). Ce paramètre n'est constant que pour un système donné : dans un autre système planétaire, satellite naturel ou stellaire, cette constante aurait une valeur différente. En l'absence de précision, c'est de la constante associée au Système solaire que l’on parle.

En 1801, la découverte de Cérès démontre l'utilité de la constante gravitationnelle de Gauss.

Mise en évidence

Soit un objet du Système solaire de masse $m$ en révolution autour du Soleil de masse $M_{\odot }$ égale à une masse solaire.

Considérons que $m$ est très inférieur à $M_{\odot }$ de sorte de $m$ soit négligeable devant $M_{\odot }$.

L'objet de masse $m$ décrit une orbite elliptique de demi-grand axe $a$.

Le moyen mouvement $n$ de l'objet de masse $m$ est donné par : $n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}$, avec $\mu =GM_{\odot }$.

Considérons que $M_{\odot }=1$ et que $a=1$.^[Quoi ?]

Histoire

L'éponyme de la constante de Gauss est Carl Friedrich Gauss (1777-1855), qui l'a proposée en 1809 dans sa Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (« Théorie du mouvement des corps célestes parcourant des sections coniques autour du Soleil »). Gauss semble l'avoir utilisée dès 1801 afin de prédire l'orbite de Cérès, découverte le 1^er janvier par Giuseppe Piazzi et que celui-ci avait perdue de vue. Avant Gauss, Isaac Newton avait lui-même utilisé la constante.

En 1898, Simon Newcomb (1835-1909) publie ses Tables of the Sun (« Tables du Soleil ») dans lesquelles il adopte la notation et les valeurs de la constante que Gauss avait lui-même proposées.

En 1938 à Stockholm, la 6^e assemblée générale de l'Union astronomique internationale (UAI) adopte à l'unanimité une résolution présentée par la commission des éphémérides et fixant la constante de Gauss à k = 0,017 202 098 95 radian par jour solaire moyen pour 1900.0.

En 1976 à Grenoble, la 16^e assemble générale de l'UAI adopte une recommandation en vertu de laquelle la constante de Gauss devient la « constante de définition » du système astronomique d'unités. Sa valeur reste celle adoptée en 1938 et sert à définir l'unité astronomique de longueur.

En 2012 à Pékin, la 28^e assemblée générale de l'UAI adapte une résolution qui redéfinit l'unité astronomique de longueur comme une « unité conventionnelle de longueur égale à 149 597 870 700 m exactement » ; cessant ainsi d'être une « constante auxiliaire de définition » servant à définir l'unité astronomique de longueur, la constante de Gauss est supprimée du système des constantes astronomiques.

Notation et valeur

Notation

La constante de Gauss est couramment notée $k$, correspondant à la lettre K minuscule de l'alphabet latin, initiale de l'allemand Konstante (constante).

Expression

Depuis 2012, la constante de Gauss est donnée par la relation :

$k={\sqrt {GM_{\mathrm {S} }}}$,

où :

• $G$ est la constante de la gravitation,
• $M_{\mathrm {S} }$ est la masse du Soleil,

et :

• leur produit $GM_{\mathrm {S} }$ est la constante héliocentrique de la gravitation.

Les valeurs^[Quoi ?] recommandées^{[réf. nécessaire]} du paramètre de masse solaires sont :

• $GM_{\mathrm {S} }=1{,}327\,124\,420\,99\times 10^{20}\;(\pm \;1\times 10^{10})\;{\rm {m^{3}\cdot s^{-2}}}$
• $GM_{\mathrm {S} }=1{,}327\,124\,400\,41\times 10^{20}\;(\pm \;1\times 10^{10})\;{\rm {m^{3}\cdot s^{-2}}}$

Dimension et unité

La dimension du carré de la constante de Gauss est celle de la constante de gravitation :

$[k^{2}]=[G]=\mathrm {L^{3}\;M^{-1}\;T^{-2}}$,

où $[k^{2}]$ et $[G]$ sont la dimension du carré de la constante de Gauss et celle de la constante de gravitation.

La dimension de la constante de Gauss est celle de la vitesse angulaire ou pulsation :

$[k]=\mathrm {T^{-1}} \cdot 1$

où $\mathrm {T^{-1}}$ est la dimension d'une vitesse et $1$ la dimension d'un angle plan, grandeur adimensionnelle.

Bien que, dans le Système international d'unités, l'unité dérivée pour la vitesse angulaire, ou pulsation, soit le radian par seconde, la constante de Gauss est habituellement exprimée en radian par jour.

Valeur

Dans le système astronomique d'unités, la constante associée au Système solaire vaut :

$k=0{,}017\,202\,098\,95\;A^{\frac {3}{2}}\;D^{-1}\ S^{-{\frac {1}{2}}}$

avec :

• ${A}$ l'unité astronomique,
• ${D}$ le jour solaire moyen,
• ${S}$ la masse solaire.

Si, à la place du jour solaire moyen, on utilise l'année sidérale comme unité de temps, la valeur de $k$ est alors très proche de $2\pi$.

Cette valeur de 0,017 202 098 95, calculée par Gauss, est encore en usage.

Déterminations contemporaines

Simon Newcomb la recalcule pour son Newcomb's Tables of the Sun (en).

Interprétation

La constante de Gauss représente la vitesse angulaire moyenne, en radian par jour, à laquelle une particule de masse infinitésimale se déplacerait, autour du Soleil, sur une orbite newtonienne circulaire non perturbée de rayon approximativement égal à la distance moyenne entre le Soleil et la Terre.

Applications

Année gaussienne

Une année gaussienne est l'année sidérale d'une planète hypothétique d'une masse négligeable par rapport à celle du Soleil, dont l'orbite ne serait pas perturbée par les autres planètes et qui serait gouvernée par la constante gravitationnelle de Gauss (dans le cadre de la troisième loi de Kepler). De ces contraintes, on en déduit que l'année gaussienne est égale à 365,256 898 3 jours (soit 365 d 6 h 9 min 56 s).

Définition de la seconde

De 1956 à 1967, la constante gravitationnelle de Gauss est à la base de la définition internationale de la seconde. Elle fait partie du système astronomique d'unités depuis 1952.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• (en) Geoff Brumfiel, « The astronomical unit gets fixed : Earth-Sun distance changes from slippery equation to single number », Nature,‎ 14 septembre 2012 (DOI 10.1038/nature.2012.11416, lire en ligne ).
• [Burša et Pěč 1993] (en) Milan Burša et Karel Pěč (trad. du tchèque par Jaroslav Tauer), Gravity field and dynamics of the Earth [« Tíhove pole a dynamika Země »], Berlin, Heidelberg et New York, Springer, hors coll., 1993, 1^re éd., X-333 p., 24 cm (ISBN 3-540-56817-4 et 0-387-56817-4, EAN 9783540568179, OCLC 467984419, BNF 37435965, DOI 10.1007/978-3-642-52061-7, SUDOC 017186404, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Forbes 1971] (en) Eric G. Forbes, « Gauss and the discovery of Ceres » [« Gauss et la découverte de Cérès »], J. Hist. Astron., vol. 2, n^o 3,‎ octobre 1971, p. 195-199 (OCLC 5723821898, DOI 10.1177/002182867100200305, Bibcode 1971JHA.....2..195F).
• [Harper 2011] (en) William L. Harper, Isaac Newton's scientific method : turning data into evidence about gravity and cosmology, Oxford, OUP, hors coll., 2011, 1^re éd., XVII-424 p., 24 cm (ISBN 978-0-19-957040-9 et 978-0-19-870942-8, EAN 9780199570409, OCLC 800990511, DOI 10.1093/acprof:oso/9780199570409.001.0001, SUDOC 158378865, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Lang 2013] (en) Kenneth R. Lang, Essential astrophysics, Heidelberg, Springer, coll. « Undergraduate lecture notes in physics », 2013, 1^re éd., XXI-635 p., 24 cm (ISBN 978-3-642-35962-0, EAN 9783642359620, OCLC 867748792, BNF 44706358, DOI 10.1007/978-3-642-35963-7, SUDOC 170395545, présentation en ligne, lire en ligne).
• [MacDougal 2012] (en) Douglas W. MacDougal, Newton's gravity : an introductory guide to the mechanics of the Universe, New York, Springer, coll. « Undergraduate lecture notes in physics », 2012, 1^re éd., XIX-432 p., 24 cm (ISBN 978-1-4614-5443-4, EAN 9781461454434, OCLC 836138137, DOI 10.1007/978-1-4614-5444-1, SUDOC 167049771, présentation en ligne, lire en ligne).
• [McCarthy et Seidelmann 2018] (en) Dennis D. McCarthy et P. Kenneth Seidelmann, Time : from Earth rotation to atomic physics, Cambridge, CUP, hors coll., 2018, 2^e éd. (1^re éd. 2009), XVI-386 p., 26 cm (ISBN 978-1-107-19728-2, EAN 9781107197282, OCLC 1104794702, BNF 42147127, DOI 10.1017/9781108178365, SUDOC 236476718, présentation en ligne, lire en ligne).

Publication de Carl Friedrich Gauss

• [Gauss 1809] (la) Carl Friedrich Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, Habmourg, F. Perthes et J. H. Besser, 1809, 1^re éd., XI-[1]-20-227, in-4^o (OCLC 457651591, BNF 30488519, SUDOC 042652057), réimpr. : op. cit., Bruxelles, Culture et civilisation, 1968, 1^re éd., XI-[1]-20-227, 29 cm (OCLC 491493297, BNF 37274743, SUDOC 086676857, lire en ligne).

Publication de Simon Newcomb

• [Newcomb 1898] (en) Simon Newcomb, Tables of the motion of the Earth on its axis and around the Sun [« Tables du mouvement de la Terre sur son axe et autour du Soleil »], Washington, bureau de l'Équipement du département de la Marine des États-Unis, coll. « Astronomical papers prepared for the use of the American Ephemeris and Nautical Almanac » (n^o 6, 1), 1898, 169 p., 29 cm (OCLC 1001930827, BNF 45885267, SUDOC 025375008, lire en ligne).

Publications de l'Union astronomique internationale

• [UAI 1938] (en + fr) Jan H. Oort (éd.), Sixth General Assembly : held at Stockholm, August 3 to August 10, 1938, Londres, CUP, coll. « Transactions of the International Astronomical Union » (n^o 6), 1939, VIII-517 p., 26 cm (OCLC 892637371, BNF 33984395, SUDOC 181086638, lire en ligne [PDF]). 
• [UAI 1976] (en) Edith A. Müller et Arnost Jappel (éd.), Proceedings of the sixteenth General Assembly : Grenoble, 1976, Dordrecht et Boston, D. Reidel, coll. « Transactions of the International Astronomical Union » (n^o 16 B), 1977, X-586 p., 26 cm (ISBN 90-277-0836-3, EAN 9789027708366, OCLC 469876572, BNF 40230914, DOI 10.1007/978-94-010-1257-7, Bibcode 1977tiau.book.....M, SUDOC 180980572, lire en ligne [PDF]). 
• [UAI 2012] (en + fr) Thierry Montmerle (éd.), Proceedings of the twenty eighth General Assembly : Beijing, China, 2012, Cambridge, CUP, coll. « Transactions of the International Astronomical Union » (n^o 28 B), 2015, XII-409 p., 26 cm (ISBN 978-1-10-707883-3, EAN 9781107078833, OCLC 929960584, BNF 45103475, Bibcode 2015IAUGA..28.....M, SUDOC 189674768, lire en ligne [PDF]). 

Publications du Bureau international des poids et mesures

• [BIPM 2006] (fr + en) Bureau international des poids et mesures, Le Système international d'unités (SI), Sèvres, Organisation intergouvernementale de la Convention du mètre, mai 2006, 8^e éd., 180 p., 30 cm (ISBN 92-822-2213-6, EAN 9789282222133, OCLC 491844461, SUDOC 103580727, lire en ligne [PDF]). 

Publications du Bureau des longitudes

• [Simon, Chapront-Touzé, Morando et Thuillot 1997] Jean-Louis Simon, Michelle Chapront-Touzé, Bruno Morando et William Thuillot (dir.), Introduction aux éphémérides astronomiques : supplément explicatif à la Connaissance des temps, Paris et Les Ulis, BDL et EDP, hors coll., 1997, 1^re éd., VIII-450 p., 24 cm (ISBN 2-86883-298-9, EAN 9782868832986, OCLC 37774112, BNF 36184022, SUDOC 008201609, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Berthier, Descamps et Mignard 2021] Jérôme Berthier, Pascal Descamps et François Mignard (coord.), Introduction aux éphémérides et phénomènes astronomiques : supplément explicatif à la Connaissance des temps, Paris et Les Ulis, IMCCE, BDL et EDP Sciences, coll. « Références astronomiques », 2021, 2^e éd. (1^re éd. 1997), XXXII-1023 p., 24 cm (ISBN 978-2-910015-86-2 et 978-2-7598-2414-4, EAN 9782759824144, OCLC 1269479976, BNF 46879374, SUDOC 257269916, présentation en ligne, lire en ligne).

Publications de l'Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides

• [Simon et Francou 2016] Jean-Louis Simon et Gérard Francou, Construction des théories planétaires analytiques de l'IMCCE, Paris, IMCCE, coll. « Notes scientifiques et techniques » (n^o S103), décembre 2016, 1^re éd., 76 p., 30 cm (ISBN 2-910015-74-2, EAN 9782910015749, OCLC 1003148035, BNF 45218673, Bibcode 2016NSTIM.103.....S, lire en ligne [PDF]). 

Articles connexes

• Constante gravitationnelle

Liens externes

• (en) Gaussian Gravitational Constant sur Wolfram ScienceWorld (en)