Constante parabolique universelle

La constante parabolique universelle est une constante mathématique.

La constante parabolique universelle est la longueur rouge divisée par la demi longueur bleue, laquelle est égale à la longueur verte.

Elle est définie comme le rapport, noté $P$, pour toute parabole, de la longueur de l'arc de la parabole délimité par la corde focale, par la demi-longueur de cette corde, le paramètre $p$ de la conique. Pour une parabole, le paramètre est aussi égal à la distance du foyer à la directrice, notée $L$ dans la figure ci-contre.

La valeur de la constante parabolique est donnée par :

$P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2{,}29558714939\dots$

(suite A103710 de l'OEIS).

Démonstration

Soit ${\textstyle y={\frac {x^{2}}{2p}}}$ l'équation de la parabole ; alors $${\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-p}^{p}{\sqrt {1+\left(y'(x)\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{p}}\int _{-p}^{p}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{p^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt&(x=pt)\\&=\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$$

Propriété

$P$ est un nombre transcendant.

Preuve. Supposons que $P$ soit algébrique. Alors $\!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})$ serait algébrique. Cependant, par le théorème d'hermite-Lindemann, $\!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}$ serait transcendant, ce qui est faux. Donc $P$ est transcendant.

On en déduit que $P$ est irrationnel.

Cas d'une conique quelconque

Pour un cercle, le rapport analogue est égal à sa demi-longueur divisée par son rayon, soit le nombre $\pi$.

Pour une conique d'excentricité e, le rapport analogue est égal à $C(e)=2\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\rho ^{2}+\rho '^{2}}}d\theta$ où $\rho ={\frac {1}{1+e\cos \theta }}$, conduisant à une intégrale elliptique. On vérifie que $C(1)=P$ et $C(0)=\pi$.

Autre apparition de cette constante

La distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un carré de côté 2a à son centre est

$d_{\text{m}}={P \over 3}a\approx 0,77a.$

Preuve.

${\begin{aligned}d_{\text{m}}&:={\frac {2}{a^{2}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&={\frac {2}{a^{2}}}\int _{0}^{a}x^{2}\int _{0}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt\,dx\\&={\frac {P}{a^{2}}}\int _{0}^{a}x^{2}\,dx\\&={P \over 3}a.\end{aligned}}$

Remarque :

• la distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un disque de rayon a à son centre est égale à ${\frac {2}{3}}a$.
• la distance moyenne entre deux points du carré unité vaut ${\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln({\sqrt {2}}+1)}{15}}\approx 0,5214$, voir la suite A091505 de l'OEIS.

Crédit de traduction

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Universal parabolic constant » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Universal Parabolic Constant », sur MathWorld