Constante parabolique universelle

La constante parabolique universelle est une constante mathématique^[1].

Elle est définie comme le rapport, noté $P$ , pour toute parabole, de la longueur de l'arc de la parabole délimité par la corde focale, par la demi-longueur de cette corde, le paramètre $p$ de la conique. Pour une parabole, le paramètre est aussi égal à la distance du foyer à la directrice, notée $L$ dans la figure ci-contre.

La valeur de la constante parabolique est donnée par :

P = \ln (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 2,29558714939 \dots

(suite A103710 de l'OEIS).

Démonstration

Soit $y = \frac{x^{2}}{2 p}$ l'équation de la parabole ; alors $\begin{matrix} P & := \frac{1}{p} \int_{- p}^{p} \sqrt{1 + {(y^{'} (x))}^{2}} d x \\ = \frac{1}{p} \int_{- p}^{p} \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{p^{2}}} d x \\ = \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 + t^{2}} d t & (x = p t) \\ = arsinh (1) + \sqrt{2} \\ = \ln (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} . \end{matrix}$

Propriété

$P$ est un nombre transcendant.

Preuve. Supposons que

P

soit algébrique. Alors

P - \sqrt{2} = \ln (1 + \sqrt{2})

serait algébrique. Cependant, par le théorème d'hermite-Lindemann,

e^{\ln (1 + \sqrt{2})} = 1 + \sqrt{2}

serait transcendant, ce qui est faux. Donc

P

est transcendant.

On en déduit que $P$ est irrationnel.

Cas d'une conique quelconque

Pour un cercle, le rapport analogue est égal à sa demi-longueur divisée par son rayon, soit le nombre $π$ .

Pour une conique d'excentricité $e$ , le rapport analogue est égal à $C (e) = 2 \int_{0}^{π / 2} \sqrt{ρ^{2} + ρ'^{2}} d θ$ où $ρ = \frac{1}{1 + e \cos θ}$ , conduisant à une intégrale elliptique. On vérifie que $C (1) = P$ et $C (0) = π$ .

Autre apparition de cette constante

La distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un carré de côté 2 $a$ à son centre est

d_{m} = \frac{P}{3} a \approx 0, 77 a .

Preuve.

\begin{matrix} d_{m} & := \frac{2}{a^{2}} \int_{0}^{a} \int_{0}^{x} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d y d x \\ = \frac{2}{a^{2}} \int_{0}^{a} x^{2} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + t^{2}} d t d x \\ = \frac{P}{a^{2}} \int_{0}^{a} x^{2} d x \\ = \frac{P}{3} a . \end{matrix}

Remarque :

la distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un disque de rayon $a$ à son centre est égale à $\frac{2}{3} a$ .
la distance moyenne entre deux points du carré unité vaut $\frac{2 + \sqrt{2} + 5 \ln (\sqrt{2} + 1)}{15} \approx 0, 5214$ , voir la suite A091505 de l'OEIS.

Crédit de traduction

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Universal parabolic constant » (voir la liste des auteurs).

Notes et références

↑ (hr) Bojan Kovačić, Ivana Božić et Tihana Strmečki, « On the universal parabolic constant », Osječki matematički list, vol. 13, n^o 1,‎ 30 août 2013, p. 43–60 (ISSN 1845-4607 et 1848-946X, lire en ligne, consulté le 9 novembre 2025)

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Universal Parabolic Constant », sur MathWorld

Portail des mathématiques

[1] (hr) Bojan Kovačić, Ivana Božić et Tihana Strmečki, « On the universal parabolic constant », Osječki matematički list, vol. 13, n^o 1,‎ 30 août 2013, p. 43–60 (ISSN 1845-4607 et 1848-946X, lire en ligne, consulté le 9 novembre 2025)

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