Contiguïté (probabilités)
La contiguïté est une notion en probabilités introduite par Lucien Le Cam en 1960[1] généralisant l'absolue continuité à des suites de mesures de probabilités.
Définition
modifierSoit une suite d'espaces mesurables. Soient et deux suites de mesures de probabilités sur .
La suite est dite contiguë par rapport à la suite si pour toute séquence d'événements , . On note alors [2].
Si on a à la fois et , les suites et sont dites mutuellement contiguës et l'on note .
Lien avec l'absolue continuité
modifierLa contiguïté peut être vue comme une généralisation de l'absolue continuité aux suites de mesures de probabilité. Si dans la définition précédente les suites sont constantes, , et , on obtient que, si alors , c'est-à-dire que est absolument continue par rapport à .
La contiguïté assure l'absolue continuité des limites. Si deux suites de mesures de probabilité et convergent en distribution vers deux mesures et , et que la suite est contigüe par rapport à , alors est absolument continue par rapport à .
Attention toutefois à ne pas confondre contigüité entre deux suites avec l'absolue continuité entre les termes de ces suites. Il existe en effet des suites et vérifiant pour tout , (le symbole « » désignant l'absolue continuité) sans qu'on ait . On peut par exemple prendre constamment égale à la mesure de probabilité définie par une loi normale centrée réduite et égale à la mesure de probabilité d'une loi normale d'espérance et de variance 1.
Autres définitions
modifierLes deux définitions ci-dessous de la contiguïté sont équivalentes à celles données précédemment[3].
Considérons comme plus haut une suite d'espaces mesurables et deux suites de mesures de probabilités et sur .
- La suite est contiguë par rapport à si, pour toute suite de variables aléatoires , . En d'autres termes, si tend vers 0 en probabilité sous la suite de mesures , alors tend aussi vers 0 sous la suite de mesures .
- La suite est contiguë par rapport à si .
Premier lemme de Le Cam
modifierUn résultat connu sous le nom de « premier lemme de Le Cam » permet d'établir d'autres caractérisations de la contigüité[4].
Théorème — Soient et deux suites de mesures de probabilité sur une suite d'espaces mesurables . Les propositions suivantes sont équivalentes:
|
Dans ce résultat, la notation (respectivement ) désigne la dérivée de Radon-Nikodym de par rapport à (respectivement de par rapport à ). En pratique cela se ramène souvent au rapport de la densité de probabilité associée à sur celle associée à (respectivement celle associée à sur celle associée à ), lorsque ces densités existent.
Les convergences en distribution de et de dans le résultat ci-dessus peuvent être remplacées par les convergences en distribution de sous-suites de et de sans perte de généralité.
Voir aussi
modifierRéférences
modifier- Lucien Le Cam, « Locally asymptotically normal families of distributions », University of California Publications in Statistics, vol. 3, , p. 37–98
- G. K. Eagleson et Jean Mémin, « Sur la contiguïté de deux suites de mesures : généralisation d'un théorème de Kabanov-Liptser-Shiryayev », Séminaire de probabilités de Strasbourg, vol. 16, , p. 319–337 (lire en ligne, consulté le )
- (en) David Pollard, « A very short course on Le Cam theory : Contiguity », sur www.stat.yale.edu/~pollard/, (consulté le )
- A. W. van der Vaart, Asymptotic Statistics, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-511-80225-6, 978-0-521-49603-2 et 978-0-521-78450-4, lire en ligne)