Contiguïté (probabilités)

La contiguïté est une notion en probabilités introduite par Lucien Le Cam en 1960 généralisant l'absolue continuité à des suites de mesures de probabilités.

Définition

Soit $(\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite d'espaces mesurables. Soient $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ deux suites de mesures de probabilités sur $(\Omega _{n},F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

La suite $\mu _{n}$ est dite contiguë par rapport à la suite $\nu _{n}$ si pour toute séquence d'événements $F_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}$, $\lim _{n\to \infty }\nu _{n}(F_{n})=0\implies \lim \mu _{n}(F_{n})=0$. On note alors $\mu _{n}\triangleleft \nu _{n}$.

Si on a à la fois $\mu _{n}\triangleleft \nu _{n}$ et $\mu _{n}\triangleright \nu _{n}$, les suites $\mu _{n}$ et $\nu _{n}$ sont dites mutuellement contiguës et l'on note $\mu _{n}\triangleleft \triangleright \nu _{n}$.

Lien avec l'absolue continuité

La contiguïté peut être vue comme une généralisation de l'absolue continuité aux suites de mesures de probabilité. Si dans la définition précédente les suites sont constantes, $\mu _{n}=\mu$, $\nu _{n}=\nu$ et $F_{n}=F$, on obtient que, si $\nu (F)=0$ alors $\mu (F)=0$, c'est-à-dire que $\mu$ est absolument continue par rapport à $\nu$.

La contiguïté assure l'absolue continuité des limites. Si deux suites de mesures de probabilité $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ convergent en distribution vers deux mesures $\mu$ et $\nu$, et que la suite $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est contigüe par rapport à $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$, alors $\mu$ est absolument continue par rapport à $\nu$.

Attention toutefois à ne pas confondre contigüité entre deux suites avec l'absolue continuité entre les termes de ces suites. Il existe en effet des suites $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ vérifiant pour tout $n\in \mathbb {N}$, $\mu _{n}<<\nu _{n}$ (le symbole « $<<$ » désignant l'absolue continuité) sans qu'on ait $\mu _{n}\triangleleft \nu _{n}$. On peut par exemple prendre $\mu _{n}$constamment égale à la mesure de probabilité définie par une loi normale centrée réduite et $\nu _{n}$ égale à la mesure de probabilité d'une loi normale d'espérance $n$ et de variance 1.

Autres définitions

Les deux définitions ci-dessous de la contiguïté sont équivalentes à celles données précédemment.

Considérons comme plus haut une suite d'espaces mesurables $(\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et deux suites de mesures de probabilités $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sur $(\Omega _{n},F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ .

• La suite $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est contiguë par rapport à $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ si, pour toute suite de variables aléatoires $X_{n}$ , $\left(\forall \eta ,\ \ \nu _{n}(|X_{n}|>\eta ){\underset {n\to \infty }{\to }}0\right)\implies \left(\forall \eta ,\ \ \mu _{n}(|X_{n}|>\eta ){\underset {n\to \infty }{\to }}0\right)$. En d'autres termes, si $X_{n}$ tend vers 0 en probabilité sous la suite de mesures $\nu _{n}$, alors $X_{n}$tend aussi vers 0 sous la suite de mesures $\mu _{n}$ .
• La suite $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est contiguë par rapport à $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ si $\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\delta >0:{\underset {n\geq n_{0}}{\sup }}\left\{{\underset {F\in {\mathcal {F}}_{n}:\nu _{n}(F)<\delta }{\sup }}\{\mu _{n}(F)\}\right\}\leq \varepsilon$ .

Premier lemme de Le Cam

Un résultat connu sous le nom de « premier lemme de Le Cam » permet d'établir d'autres caractérisations de la contigüité.

Théorème — Soient $\mu _{n}$ et $\nu _{n}$ deux suites de mesures de probabilité sur une suite d'espaces mesurables $(\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Les propositions suivantes sont équivalentes: $\mu _{n}\triangleleft \nu _{n}$. Si ${\frac {\mathrm {d} {\nu _{n}}}{\mathrm {d} {\mu _{n}}}}(X_{n})$ converge en distribution vers une variable aléatoire $U$ lorsque les $X_{n}$ sont des variables aléatoires distribuées suivant les lois de probabilité définies par $\mu _{n}$, alors $P(U>0)=1$. Si ${\frac {\mathrm {d} {\mu _{n}}}{\mathrm {d} {\nu _{n}}}}(Y_{n})$ converge en distribution vers une variable aléatoire $V$ lorsque les $Y_{n}$ sont des variables aléatoires distribuées suivant les lois de probabilité définies par $\nu _{n}$, alors $\mathbb {E} (V)=1$. Toute statistique $T_{n}$ de $\Omega _{n}$ dans $\mathbb {R} ^{k}$, si $T_{n}$ converges en probabilité vers $0$ sous $\nu _{n}$, alors $T_{n}$ converge aussi en probabilité vers $0$ sous $\mu _{n}$.

Dans ce résultat, la notation ${\frac {\mathrm {d} \mu _{n}}{\mathrm {d} {\nu _{n}}}}$ (respectivement ${\frac {\mathrm {d} \nu _{n}}{\mathrm {d} {\mu _{n}}}}$) désigne la dérivée de Radon-Nikodym de $\mu _{n}$par rapport à $\nu _{n}$(respectivement de $\nu _{n}$ par rapport à $\mu _{n}$). En pratique cela se ramène souvent au rapport de la densité de probabilité associée à $\mu _{n}$ sur celle associée à $\nu _{n}$ (respectivement celle associée à $\nu _{n}$ sur celle associée à $\mu _{n}$), lorsque ces densités existent.

Les convergences en distribution de ${\frac {\mathrm {d} \mu _{n}}{\mathrm {d} {\nu _{n}}}}(X_{n})$ et de ${\frac {\mathrm {d} \nu _{n}}{\mathrm {d} {\mu _{n}}}}(Y_{n})$ dans le résultat ci-dessus peuvent être remplacées par les convergences en distribution de sous-suites de ${\frac {\mathrm {d} \mu _{n}}{\mathrm {d} {\nu _{n}}}}(X_{n})$ et de ${\frac {\mathrm {d} \nu _{n}}{\mathrm {d} {\mu _{n}}}}(Y_{n})$ sans perte de généralité.

Voir aussi

• Absolue continuité
• Normalité asymptotique locale
• Lucien Le Cam