Continuant

En algèbre, le continuant est un polynôme à plusieurs variables défini par récurrence ou comme le déterminant d'une certaine matrice tridiagonale et qui est utile pour les fractions continues.

Définition

Le n-ième continuant $K_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ est défini par récurrence par

$K_{0}=1;\,$

$K_{1}(x_{1})=x_{1};\,$$K_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-2}).$

Propriétés

• Le continuant $K_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ peut être calculé en prenant la somme de tous les produits possibles de $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ et en y supprimant un nombre quelconque de paires disjointes de termes consécutifs (règle d'Euler). Par exemple,

  $K_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}+x_{3}x_{4}x_{5}+x_{1}x_{4}x_{5}+x_{1}x_{2}x_{5}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}+x_{3}+x_{5}.$

Il en résulte que les continuants sont invariants par inversion de l'ordre des indéterminées : $K_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=K_{n}(x_{n},\ldots ,x_{1}).$

• Le continuant peut être calculé comme le déterminant d'une matrice tridiagonale :

  $K_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.$

• Par spécialisation, on trouve $K_{n}(1,\ldots ,1)=F_{n+1}$, le (n+1)-ième nombre de Fibonacci.
• En développant le déterminant par rapport à la première colonne, il vient :${\frac {K_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\ldots ,x_{n})}}=x_{1}+{\frac {K_{n-2}(x_{3},\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\ldots ,x_{n})}}.$
• Les rapports de continuants successifs sont les (convergents de) fractions continues :

  ${\frac {K_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\ldots ,x_{n})}}=[x_{1};x_{2},\ldots ,x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\cdots }}}}}.$

• On a l'identité matricielle suivante :

  ${\begin{pmatrix}K_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&K_{n-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\\K_{n-1}(x_{2},\ldots ,x_{n})&K_{n-2}(x_{2},\ldots ,x_{n-1})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\times \ldots \times {\begin{pmatrix}x_{n}&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

  • En prenant le déterminant, il en résulte que

    $K_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot K_{n-2}(x_{2},\ldots ,x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_{2},\ldots ,x_{n})=(-1)^{n}.$

  • et que

    $K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.$

Généralisations

On peut étendre la définition du continuant en ajoutant des paramètres. Plus précisément, le n-ième continuant généralisé $K(n)$ est un polynôme en $3n-2$ variables $a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n-1},c_{1},\dots ,c_{n-1}$ défini par

$K_{0}=1$ ;

$K_{1}=a_{1}$ ;

$K_{n}=a_{n}K_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}K_{n-2}$.

En fait, comme les $b_{i}$ et les $c_{i}$ n'interviennent que sous la forme du produit $b_{i}c_{i}$, on peut sans perte de généralité supposer que les $b_{i}$ sont tous égaux à 1.

Le continuant généralisé peut également être défini comme le déterminant de la matrice tridiagonale

${\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&0&\ldots &0&0\\c_{1}&a_{2}&b_{2}&\ldots &0&0\\0&c_{2}&a_{3}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &a_{n-1}&b_{n-1}\\0&0&0&\ldots &c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}.$

Dans le livre (Muir 1960), le continuant généralisé est simplement appelé continuant.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Continuant (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

• Thomas Muir, A treatise on the theory of determinants, Dover Publications, 1960, 516–525 (lire en ligne )
• Thomas W. Cusick et Mary E. Flahive, The Markoff and Lagrange Spectra, vol. 30, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys and Monographs », 1989, 89 p. (ISBN 0-8218-1531-8, zbMATH 0685.10023)
• George Chrystal, Algebra, an Elementary Text-book for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges: Pt. 1, American Mathematical Society, 1999, 500 p. (ISBN 0-8218-1649-7)