Convergence faible (espace de Hilbert)
En mathématiques, la convergence faible dans un espace de Hilbert est la convergence d'une suite de points dans la topologie faible.
Définition
modifierUne suite de points dans un espace de Hilbert H converge faiblement vers un point x dans H si
pour tout y dans H, désignant le produit scalaire de l'espace de Hilbert.
La notation
est parfois utilisée pour désigner ce type de convergence.
Exemples
modifierConvergence faible des suites orthonormales
modifierConsidérons une suite orthonormée, c'est-à-dire
Si cette suite est infinie, alors elle converge faiblement vers zéro.
Lemme de Riemann-Lebesgue
modifier![The first 3 curves in the sequence fn=sin(nx)](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sinfrequency.jpg/350px-Sinfrequency.jpg)
L'espace de Hilbert est l'espace des fonctions de carré intégrable sur l'intervalle muni du produit scalaire défini par
(voir espace L2). La suite de fonctions définie par
converge faiblement vers la fonction nulle dans , puisque pour toute fonction , l'intégrale
tend vers quand tend vers l'infini : c'est un cas particulier à la fois de l'exemple précédent et du lemme de Riemann-Lebesgue.
On peut remarquer que ne converge pas vers 0 en norme ou . Cette non-convergence est l'une des raisons pour lesquelles ce type de convergence est considéré comme « faible ».
Propriétés
modifier- Si une suite converge fortement, elle converge également faiblement.
- Dans un espace de Hilbert (comme dans tout espace réflexif) les boules fermées sont faiblement compactes, donc toute suite bornée possède une sous-suite faiblement convergente. Notez que les ensembles fermés et bornés ne sont généralement pas faiblement compacts dans les espaces de Hilbert (par exemple, l'ensemble constitué d'une suite orthonormée comme ci-dessus est fermé et borné mais pas faiblement compact car il ne contient pas 0). Cependant, les ensembles bornés et faiblement fermés sont faiblement compacts, de sorte que chaque ensemble fermé convexe borné est faiblement compact.
- Comme dans tout e.v.n., toute suite faiblement convergente est bornée.
- La norme est (séquentiellement) faiblement semi-continue inférieurement : si converge faiblement vers x, alors
- et cette inégalité est stricte chaque fois que la convergence n'est pas forte. Par exemple, toute suite orthonormale infinie converge faiblement vers zéro (voir supra).
- Si converge faiblement vers et si l'hypothèse supplémentaire est vérifiée, alors converge vers fortement car
- .
- Sur un espace de Hilbert de dimension finie, c'est-à-dire un espace euclidien ou hermitien, les topologies faible et forte coïncident.
- Les espaces de Hilbert possèdent la propriété de Banach-Saks : pour toute suite bornée , il existe une sous-suite dont la suite des moyennes de Cesàro converge fortement.
Généralisation
modifierLa définition de convergence faible peut être étendue aux espaces de Banach. Une suite de points dans un espace de Banach B est dite faiblement convergente vers un point x dans B si
pour toute forme linéaire continue sur c'est-à-dire pour tout dans le dual topologique .
Dans le cas où est un espace de Hilbert, grâce au théorème de représentation de Riesz, il existe un dans tel que
- ,
ce qui permet de retrouver la définition de la convergence faible sur un espace de Hilbert.