Coordonnées cylindriques

Un système de coordonnées cylindriques est un système de coordonnées curvilignes orthogonales qui généralise à l'espace celui des coordonnées polaires du plan $(r,\theta )$ en y ajoutant une troisième coordonnée, généralement notée z, qui mesure la hauteur d'un point par rapport au plan repéré par les coordonnées polaires (de la même manière que l'on étend le système de coordonnées cartésiennes de deux à trois dimensions).

En coordonnées cylindriques, la position du point P est définie par les distances r et Z et par l'angle θ.

Les coordonnées cylindriques servent à indiquer la position d'un point dans l'espace. Les coordonnées cylindriques ne servent pas pour les vecteurs. Lorsqu'on utilise les coordonnées cylindriques pour repérer les points, les vecteurs, eux, sont généralement repérés dans un repère vectoriel propre au point où ils s'appliquent : $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta },{\vec {u}}_{z})$.

Conversion entre système cartésien et cylindrique

À partir des coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$, on peut obtenir les coordonnées cylindriques $(r,\theta ,z)$ (généralement dénommées respectivement rayon ou module, azimut et cote) grâce aux formules suivantes :

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{si }}x\neq 0,\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{si }}x=0{\mbox{ et }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{si }}x=0{\mbox{ et }}y<0,\\\end{cases}}$

$z=z$

Les formules ci-dessus conviennent mais l'angle θ n'est pas défini de manière unique. En particulier tous les angles égaux modulo 2π sont équivalents. De plus, lorsque x=y=0, n'importe quel angle convient.

On peut également convertir les coordonnées cylindriques $(r,\theta ,z)$ en coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ grâce aux formules suivantes :

$\left\{{\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\z&=z\end{aligned}}\right.$

Propriétés différentielles

Différentielle

Différentielle de r (vecteur infinitésimal) :

$$\mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} u_{i}{\partial {\vec {r}} \over \partial {u}_{i}}=\mathrm {d} r\,{\vec {u_{r}}}+r\mathrm {d} \theta \,{\vec {u_{\theta }}}+\mathrm {d} z\,{\vec {u_{z}}}$$

Elément de volume

Le volume infinitésimal s'écrit :

$${\text{d}}^{3}V=r\,{\text{d}}r\,{\text{d}}\theta \,{\text{d}}z$$

Élément de surface infinitésimal

Les éléments de surface infinitésimaux s'écrivent :

$$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {d} ^{2}S_{r}=r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} z\\&\mathrm {d} ^{2}S_{\theta }=\mathrm {d} r\,\mathrm {d} z\\&\mathrm {d} ^{2}S_{z}=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\\end{aligned}}\right.$$

Cinématique

Les coordonnées cylindriques sont notamment utilisées dans de nombreux problèmes de mécanique où l'on considère un objet dans un repère tournant. On peut alors avoir besoin des relations concernant la vitesse et l'accélération.

En un point $(r,\theta ,z)$ le vecteur unitaire radial et le vecteur unitaire orthoradial sont respectivement :

$\left\{{\begin{aligned}{\overrightarrow {u_{r}}}&=\cos \theta \,{\vec {u_{x}}}+\sin \theta \,{\vec {u_{y}}}\\{\overrightarrow {u_{\theta }}}&=-\sin \theta \,{\vec {u_{x}}}+\cos \theta \,{\vec {u_{y}}}\end{aligned}}\right.$

où $\left({\vec {u_{x}}},{\vec {u_{y}}},{\vec {u_{z}}}\right)$ est la base cartésienne (voir figure).

On notera $\ {\dot {r}}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\$, $\ {\dot {\theta }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\$ et $\ {\dot {z}}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\$.

Alors :

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ({\overrightarrow {u_{r}}})}{\mathrm {d} t}}&={\frac {\mathrm {d} ({\overrightarrow {u_{r}}})}{\mathrm {d} \theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}{\overrightarrow {u_{\theta }}}\\{\frac {\mathrm {d} ({\overrightarrow {u_{\theta }}})}{\mathrm {d} t}}&={\frac {\mathrm {d} ({\overrightarrow {u_{\theta }}})}{\mathrm {d} \theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=-{\dot {\theta }}{\overrightarrow {u_{r}}}\\{\frac {\mathrm {d} ({\overrightarrow {u_{z}}})}{\mathrm {d} t}}&={\overrightarrow {0}}\end{aligned}}\right.$

On remarquera déjà que les quantités cinématiques, position, vitesse, accélération sont données par :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {OM}}&=r{\overrightarrow {u_{r}}}+z{\overrightarrow {u_{z}}}\\{\dot {\overrightarrow {OM}}}&={\overrightarrow {V_{M}}}={\dot {r}}{\overrightarrow {u_{r}}}+r{\dot {\theta }}{\overrightarrow {u_{\theta }}}+{\dot {z}}{\overrightarrow {u_{z}}}\\{\ddot {\overrightarrow {OM}}}&={\overrightarrow {\Gamma _{M}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\overrightarrow {u_{r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\overrightarrow {u_{\theta }}}+{\ddot {z}}{\overrightarrow {u_{z}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\overrightarrow {u_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d(r^{2}{\dot {\theta }})}{dt}}{\overrightarrow {u_{\theta }}}+{\ddot {z}}{\overrightarrow {u_{z}}}\end{aligned}}$

Il est à noter que l'on peut retrouver ces résultats de la manière suivante :

${\begin{aligned}{\dot {\overrightarrow {OM}}}&={\frac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}={\frac {d(r{\overrightarrow {u_{r}}}+z{\overrightarrow {u_{z}}})}{dt}}={\frac {d(r{\overrightarrow {u_{r}}})}{dt}}+{\frac {d(z{\overrightarrow {u_{z}}})}{dt}}\\&={\frac {dr}{dt}}{\overrightarrow {u_{r}}}+r{\frac {d({\overrightarrow {u_{r}}})}{dt}}+{\frac {dz}{dt}}{\overrightarrow {u_{z}}}+z{\frac {d({\overrightarrow {u_{z}}})}{dt}}\\\\{\ddot {\overrightarrow {OM}}}&={\frac {d({\dot {\overrightarrow {OM}}})}{dt}}={\frac {d^{2}({\overrightarrow {OM}})}{dt^{2}}}={\frac {d({\dot {r}}{\overrightarrow {u_{r}}}+r{\dot {\theta }}{\overrightarrow {u_{\theta }}}+{\dot {z}}{\overrightarrow {u_{z}}})}{dt}}={\frac {d({\dot {r}}{\overrightarrow {u_{r}}})}{dt}}+{\frac {d(r{\dot {\theta }}{\overrightarrow {u_{\theta }}})}{dt}}+{\frac {d({\dot {z}}{\overrightarrow {u_{z}}})}{dt}}\\&={\ddot {r}}{\overrightarrow {u_{r}}}+{\dot {r}}{\frac {d({\overrightarrow {u_{r}}})}{dt}}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\overrightarrow {u_{\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\overrightarrow {u_{\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\frac {d({\overrightarrow {u_{\theta }}})}{dt}}+{\ddot {z}}{\overrightarrow {u_{z}}}+{\dot {z}}{\frac {d({\overrightarrow {u_{z}}})}{dt}}\\\\\end{aligned}}$

etc.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

• [Bert 2019] (en + fr) Jacques Bert, Lexique scientifique anglais-français : 25 000 entrées, Malakoff, Dunod, hors coll., mai 2019, 5^e éd. (1^re éd. janv. 2000), 1 vol., VI-362, 14,1 × 22 cm (ISBN 978-2-10-079360-0, EAN 9782100793600, OCLC 1101087170, BNF 45725288, SUDOC 235716839, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.cylindric(al).
• [Denizet 2008] Frédéric Denizet, Algèbre et géométrie : MPSI, Paris, Nathan, coll. « Classe prépa. / 1^er année », juin 2008, 1^re éd., 1 vol., 501, ill. et fig., 18,5 × 24,5 cm (ISBN 978-2-09-160506-7, EAN 9782091605067, OCLC 470844518, BNF 41328429, SUDOC 125304048, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 3, sect. 1, ss-sect. 1.2 (« Coordonnées cylindriques »), p. 69-70.
• [El Jaouhari 2017] Noureddine El Jaouhari, Calcul différentiel et calcul intégral, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. / Mathématiques », mai 2017, 1^re éd., 1 vol., IX-355, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-076162-3, EAN 9782100761623, OCLC 987791661, BNF 45214549, SUDOC 200872346, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 4, sect. 2, § 2.1 (« Coordonnées cylindriques »), p. 80-82.
• [Gautron et al. 2015] Laurent Gautron (dir.), Christophe Balland, Laurent Cirio, Richard Mauduit, Odile Picon et Éric Wenner, Physique, Paris, Dunod, coll. « Tout le cours en fiches », juin 2015, 1^re éd., 1 vol., XIV-570, ill. et fig., 19,3 × 25 cm (ISBN 978-2-10-072407-9, EAN 9782100724079, OCLC 913572977, BNF 44393230, SUDOC 187110271, présentation en ligne, lire en ligne), fiche n^o 2, § 2 (« Les coordonnées cylindriques »), p. 4-5.
• [Noirot, Parisot et Brouillet 2019] Yves Noirot, Jean-Paul Parisot et Nathalie Brouillet (préf. de Michel Combarnous), Mathématiques pour la physique, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », août 1997 (réimpr. nov. 2019), 1^re éd., 1 vol., X-229, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-080288-3, EAN 9782100802883, OCLC 492916073, BNF 36178052, SUDOC 241085152, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 3, sect. 1, ss-sect. 1.2, § 1.2.3 (« Exemple de coordonnées curvilignes : coordonnées cylindriques »), p. 86-27.
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.coordonnées cylindriques, p. 159.

Articles connexes

• Coordonnées sphériques

Liens externes

• [Encyclopédie Larousse] « Coordonnées d'un point M : coordonnées cylindriques », Encyclopédie Larousse, § 3 et fig. 4.
• [Encyclopædia Universalis] « Coordonnées cartésiennes, polaires sphériques et polaires cylindriques », Encyclopædia Universalis.