Coordonnées grassmanniennes

Les coordonnées grassmanniennes sont une généralisation des coordonnées plückeriennes qui permettent de paramétrer les sous espaces de dimension de l'espace vectoriel par un élément de l'espace projectif de l'espace vectoriel des produits extérieurs des familles de vecteurs de .

Le plongement plückerien

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Le plongement plückerien est un plongement naturel de la variété grassmannienne dans l'espace projectif :

Ce plongement est défini comme suit. Si est un sous-espace de dimension de , on définit d'abord une base de , puis on forme le produit extérieur Ce produit extérieur dépend de la base, mais comme deux familles de vecteurs engendrent le même sous-espace vectoriel si et seulement si leurs produits extérieurs sont colinénaires, un passage au quotient fait de un plongement de dans l'espace projectif de l'espace des produits extérieurs (de dimension ).

Ce plongement est naturellement injectif car on obtient comme le sous-espace de dimension des vecteurs satisfaisant à . Lorsque on retrouve les coordonnées plückeriennes.

D'autre part les images de la grassmannienne satisfont une relation polynomiale quadratique assez simple, appelée la relation de Plücker ; de sorte que la grassmannienne se réalise par ce biais comme une sous-variété de . Les relations de Plücker s'obtiennent en prenant deux sous-espaces vectoriels -dimensionnels W et V de respectivement munis des bases et . Alors, dans le système de coordonnées homogènes de , on a pour tout  :

Dans le cas de la dimension et des coordonnées de Plücker (), on obtient une seule équation, qui s'écrit :

Bibliographie

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  • Des planches de Jussieur sur le plongement de Plucker : ici ou

Liens internes

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