Corps euclidien
Ne doit pas être confondu avec Anneau euclidien.
En algèbre, un corps euclidien est un corps totalement ordonné dans lequel tout élément positif est un carré.
Propriétés modifier
- Un corps K est euclidien si et seulement s'il est pythagoricien et s'il existe sur K un unique ordre (total et compatible)[1].
- Si E/F est une extension finie et si le corps E est euclidien, alors F aussi (c'est une conséquence du théorème de Diller-Dress)[2].
Exemples modifier
- Un corps K est réel clos (comme le corps ℝ des réels, le sous-corps ℝ∩ℚ des réels algébriques, ou tout surcorps hyperréel) si et seulement si K est euclidien et K(√–1) est algébriquement clos.
- Le « plus petit » corps euclidien est le corps des nombres constructibles[3] : c'est la clôture euclidienne de ℚ.
Contre-exemples modifier
- Aucun corps de nombres n'est euclidien, ni même pythagoricien.
- Aucun corps quadratiquement clos (en particulier aucun corps algébriquement clos) n'est euclidien, ni même formellement réel (c'est-à-dire pourvu d'un ordre total compatible).
Clôture euclidienne modifier
Soit K un corps ordonné. Une clôture euclidienne de K est un corps euclidien contenant K et minimal pour cette propriété[4]. Les clôtures euclidiennes de K sont les sous-corps de codimension 2 de sa clôture quadratique K2 et sont isomorphes (en tant que corps ordonnés)[4],[5] ; ce sont aussi les intersections de K2 avec les clôtures réelles de K[4], ou encore, les extensions de corps ordonné de K maximales parmi les sous-corps de K2[6].
Pour toute partie non vide M de ℝ, la clôture euclidienne du corps ℚ(M) engendré par M est l'ensemble des longueurs constructibles à la règle et au compas à partir de celles appartenant à M. La clôture euclidienne d'un sous-corps K de ℝ est la réunion de tous les corps obtenus à partir de K par une tour d'extensions quadratiques réelles.
Notes et références modifier
- (en) George E. Martin, Geometric Constructions, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », , 206 p. (ISBN 978-0-387-98276-2), p. 89.
- (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 67), (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 270.
- Martin 1998, p. 35-36.
- Lam 2005, p. 245-246.
- (de) Eberhard Becker (de), « Euklidische Körper und euklidische Hüllen von Körpern », J. reine angew. Math., vol. 268/269, , p. 41-52 (lire en ligne).
- (en) Ido Efrat, Valuations, orderings, and Milnor K-theory, AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 124), , 288 p. (ISBN 978-0-8218-4041-2, lire en ligne), p. 177
