Corps valué

En mathématiques, un corps valué est un corps K muni d'une valeur absolue $x\mapsto |x|$. Celle-ci détermine sur K une structure d'espace métrique définie par la distance invariante $d(x,y)=|x-y|$, et K, muni de la topologie métrisable ainsi définie, est un corps topologique.

Par exemple, toute valuation à valeurs réelles sur K permet de définir une valeur absolue sur K (la réciproque n'est vraie que pour les valeurs absolues ultramétriques). Pour cette raison, certains auteurs^{[Qui ?][réf. souhaitée]} appellent corps valué tout corps muni d'une valuation.

La topologie d'un corps valué est discrète si, et seulement si la valeur absolue est triviale, c'est-à-dire issue de la valuation triviale.

L'anneau complété d'un corps valué est un corps valué.

Démonstration

Soient $(K,d)$ un corps muni d'une distance associée à une valuation $|~|$ et $({\widehat {K}},{\widehat {d}})$ l'anneau complété. Par prolongement des identités, ${\widehat {d}}$ est invariante par translations et l'application $x\mapsto {\widehat {d}}(x,0)$ (qui prolonge $|~|$) est une valuation sur ${\widehat {K}}$. L'application $K^{*}\to K,\;x\mapsto x^{-1}$ est ${\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}$-lipschitzienne sur $\{x\in K\mid |x|\geq \varepsilon \}$ pour tout $\varepsilon >0$. Elle s'étend donc continûment en une application $x\mapsto x^{-1}$ définie sur $\cup _{\varepsilon >0}\{x\in {\widehat {K}}\mid |x|\geq \varepsilon \}={\widehat {K}}^{*}$.

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème d'Ostrowski

Bibliographie

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], chap. IX.3 (« Utilisation des nombres réels en topologie générale: Groupes métrisables; corps valués; espaces et algèbres normés »), p. 28-31